Question

8．如圖所示，半徑為r、圓心為O₁的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)右側(cè)有豎直放置的平行金屬板M和N，兩板間距離為L(zhǎng)，在M、N板中央各有一個(gè)小孔0₂、O₃，O₁，O₂，O₃在同一水平直線上，與平行金屬板相接的是兩條豎直放置間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)體棒PQ與導(dǎo)軌接觸良好，與阻值為R的電阻形成閉合回路（導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)），該回路處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，整個(gè)裝置處在真空室中，有一束電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子流（不計(jì)重力及粒子間相互作用），以速率v₀從圓形磁場(chǎng)邊界上點(diǎn)E沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，最后從小孔O₃射出．∠EO₁O₂=120°．現(xiàn)釋放導(dǎo)體棒PQ，其下滑h后開始勻速運(yùn)動(dòng)，此后從E點(diǎn)射入的粒子恰好不能從O₃射出，而從圓形磁場(chǎng)的F點(diǎn)射出，已知∠FO₁O₂=120°求：
（1）棒下落h的整個(gè)過程中，電阻上產(chǎn)生的電熱．
（2）粒子從E點(diǎn)到F點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子恰好不能從O₃射出時(shí)，到達(dá)O₃速度為零．根據(jù)動(dòng)能定理求出此時(shí)板間電壓，由平衡條件求出質(zhì)量M．能量守恒定律求得電阻上產(chǎn)生的電熱．
（2）粒子從E射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，從小孔O₃射出，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)求出半徑，再由牛頓定律求出B．根據(jù)軌跡，逐段求出時(shí)間，再求總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)PQ棒勻速下滑時(shí)棒的速度為v，此時(shí)MN板間的電壓為U，由題意有：
    $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=qU     
    解得U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$   
    由力平衡得    Mg=B$\frac{U}{R}L$      
    解得M=$\frac{BLm}{2gqR}{v}_{0}^{2}$  
 MN之間的電壓：U=E=BLv     
   由能量守恒：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv²+Q_R     
   聯(lián)立上述方程解得產(chǎn)生的電熱：Q_R=$\frac{BLmh}{2qR}{v}_{0}^{2}$-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$           
（2）粒子由E到O₂過程中作半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，∠EO₁O₂=120°則粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：$R=\frac{r}{tan30°}=\sqrt{3}r$
    qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
    解得B′=$\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{3}qr}$
粒子后來從O₃返回O₂，進(jìn)入磁場(chǎng)后在偏轉(zhuǎn)60°從F點(diǎn)射出． 設(shè)粒子在圓形磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁：t₁=$\frac{T}{6}+\frac{T}{6}$
周期：$T=\frac{2πR}{qB′}$
整理得：${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}πr}{3{v}_{0}}$

 粒子在電場(chǎng)中往返運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂：由 L=$\frac{{0+v}_{0}}{2}•\frac{{t}_{2}}{2}$   得 ${t}_{2}=\frac{4L}{{v}_{0}}$     
 故粒子從E點(diǎn)到F點(diǎn)所用的時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{3}πr+12L}{3{v}_{0}}$
答：（1）棒下落h的整個(gè)過程中，電阻上產(chǎn)生的電熱是$\frac{BLmh}{2qR}{v}_{0}^{2}$-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$．
（2）粒子從E點(diǎn)到F點(diǎn)所用的時(shí)間是$\frac{2\sqrt{3}πr+12L}{3{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)和電磁感應(yīng)的綜合．磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)常用方法是畫軌跡，由幾何知識(shí)求半徑．