Question

（2008?茂名模擬）在納米技術(shù)中需要移動(dòng)或修補(bǔ)原子，必須使在不停地做熱運(yùn)動(dòng)（速率約幾百米每秒）的原子幾乎靜止下來(lái)且能在一個(gè)小的空間區(qū)域內(nèi)停留一段時(shí)間，為此已發(fā)明了“激光制令”的技術(shù)，若把原子和入射光分別類(lèi)比為一輛小車(chē)和一個(gè)小球，則“激光制冷”與下述的力學(xué)模型很類(lèi)似．
一輛質(zhì)量為m的小車(chē)（一側(cè)固定一輕彈簧），如圖所示以速度v₀水平向右運(yùn)動(dòng)，一個(gè)動(dòng)量大小為p，質(zhì)量可以忽略的小球水平向左射入小車(chē)并壓縮彈簧至最短，接著被鎖定一段時(shí)間△T，再解除鎖定使小球以大小相同的動(dòng)量p水平向右彈出，緊接著不斷重復(fù)上述過(guò)程，最終小車(chē)將停下來(lái)，設(shè)地面和車(chē)廂均為光滑，除鎖定時(shí)間△T外，不計(jì)小球在小車(chē)上運(yùn)動(dòng)和彈簧壓縮、伸長(zhǎng)的時(shí)間．求：
（1）小球第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小車(chē)的速度大小和這一過(guò)程中小車(chē)動(dòng)能的減少量；
（2）從小球第一次入射開(kāi)始到小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）小球射入小車(chē)和從小車(chē)中彈出的過(guò)程中，小球和小車(chē)所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列式可求得小車(chē)的速度大小．并能求小車(chē)動(dòng)能的減少量；
（2）小球第二次入射和彈出的過(guò)程小球和小車(chē)所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．由動(dòng)量守恒定律得出小球被彈出時(shí)小車(chē)的速度，運(yùn)用歸納法分析得出小球重復(fù)入射和彈出的次數(shù)n．即求出從小球第一次入射開(kāi)始到小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間．

解答：解：（1）小球射入小車(chē)和從小車(chē)中彈出的過(guò)程中，小球和小車(chē)所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
由動(dòng)量守恒定律，得mv0-P=mv

′

1

…①mv

′

1

=mv1+P…②
則v1=v0-

2P

m

．…③
此過(guò)程中小車(chē)動(dòng)能減少量為△Ek=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

，…④
則得 △Ek=2pv0-

2p2

m

=2p(v0-

p

m

)．…⑤
（2）小球第二次入射和彈出的過(guò)程，及以后重復(fù)進(jìn)行的過(guò)程中，小球和小車(chē)所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．由動(dòng)量守恒定律，得
  mv1-p=mv

′

2

…⑥
  mv

′

2

=mv2+p…⑦
則v2=v1-

2p

m

=v

′

0

-2(

2p

m

)，…⑧
同理可推得vn=v0-n(

2p

m

)．…⑨
要使小車(chē)停下來(lái)，即v_n=0，小球重復(fù)入射和彈出的次數(shù)為n=

mv0

2p

，…⑩
故從小球第一次入射開(kāi)始到小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間為t=n△T=

mv0

2P

?△T．
答：
（1）小球第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小車(chē)的速度大小為v0-

2P

m

，這一過(guò)程中小車(chē)動(dòng)能的減少量2P（v0-

2P

m

）；
（2）從小球第一次入射開(kāi)始到小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間為

mv0

2P

?△T．

點(diǎn)評(píng)：本題用小球與帶有彈簧碰撞的模型模擬“激光制冷”，要善于建立模型，研究過(guò)程，關(guān)鍵要運(yùn)用歸納法得到小車(chē)的速度表達(dá)式．