Question

9．人類發(fā)射的空間探測器進入某行星的引力范圍后，繞該行星做勻速圓周運動，已知該行星的半徑為R，探測器運行軌道在其表面上空高為h處，運行周期為T，引力常量G，求：
（1）該行星的質量
（2）若探測器靠近行星表面飛行時，測得運行周期為T₁，則行星平均密度為多少？（用T₁和常數(shù)表達）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體的質量M；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體質量M，再根據(jù)密度公式求得行星的平均速度．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得該行星的質量為：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）近星表面飛行時的周期為T₁，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得行星質量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$
又根據(jù)密度公式知行星質量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以行星的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{1}^{2}}$
答：（1）該行星的質量為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若探測器靠近行星表面飛行時，測得運行周期為T₁，則行星平均密度為$\frac{3π}{G{T}_{1}^{2}}$．

點評 萬有引力提供圓周運動向心力是解決本題的突破口，關鍵是掌握萬有引力公式和向心力公式．