Question

9．電磁緩速器是應(yīng)用于車(chē)輛上以提高運(yùn)行安全性的輔助制動(dòng)裝置，其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩車(chē)輛的速度．電磁阻尼作用可以借助如下模型討論：如圖所示，將形狀相同的兩根平行且足夠長(zhǎng)的鋁條固定在光滑斜面上，斜面與水平方向夾角為θ，一質(zhì)量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間，恰好勻速穿過(guò)，穿過(guò)時(shí)磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定，其引起電磁感應(yīng)的效果與磁鐵不動(dòng)，鋁條相對(duì)磁鐵運(yùn)動(dòng)相同．磁鐵端面是邊長(zhǎng)為d的正方形，由于磁鐵距離鋁條很近，磁鐵端面正對(duì)兩鋁條區(qū)域的磁場(chǎng)均可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，鋁條的高度大于d，電阻率為ρ，為研究問(wèn)題方便鋁條只考慮與磁場(chǎng)正對(duì)部分的電阻和磁場(chǎng)，其他部分電阻和磁場(chǎng)可忽略不計(jì)，假設(shè)磁鐵進(jìn)入鋁條間以后，減少的機(jī)械能完全轉(zhuǎn)化為鋁條的內(nèi)能，重力加速度為g．
（1）求鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I；
（2）若兩鋁條的寬度均為b，推導(dǎo)磁鐵勻速穿過(guò)鋁條間時(shí)速度v的表達(dá)式；
（3）在其他條件不變的情況下，僅將兩鋁條更換為寬度b′＞b的鋁條，磁鐵仍以速度v進(jìn)入鋁條間，試簡(jiǎn)要分析說(shuō)明磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)的加速度和速度如何變化．

Answer 1

分析 （1）磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)安培力公式F=BdI求出兩根鋁條受到的安培力大�。�磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件求解鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出鋁條中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)電阻定律得到鋁條與磁鐵正對(duì)部分的電阻，結(jié)合歐姆定律列式，可求解速度v的表達(dá)式．
（3）磁鐵以速度v進(jìn)入鋁條間恰好做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁鐵受到沿斜面向上的作用力F．由上題結(jié)果得到F與b、v等量的關(guān)系．再分析當(dāng)兩鋁條的寬度變?yōu)閎′時(shí)，受到的作用力變化，由牛頓第二定律分析鋁條的運(yùn)動(dòng)情況，從而得到加速度和速度的變化情況．

解答 解：（1）磁鐵在鋁條間運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩根鋁條受到的安培力大小為：
F_安=BId…①
磁鐵受到沿斜面向上的作用力，其大小有：
F=2F_安…②
磁鐵勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，則有：
F-mgsinθ=0…③
聯(lián)立①②③式可得：
I=$\frac{mgsinθ}{2Bd}$…④
（2）磁鐵勻速穿過(guò)鋁條間時(shí)，在鋁條中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，則有：
E=Bdv…⑤
鋁條與磁鐵正對(duì)部分的電阻為R，由電阻定律有：
R=ρ$\fracmhnkhmd{db}$…⑥
由歐姆定律有：
I=$\frac{E}{R}$…⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦式可得：
v=$\frac{ρmgsinθ}{2{B}^{2}i2o5hlq^{2}b}$…⑧
（3）磁鐵以速度v進(jìn)入鋁條間，恰好做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁鐵受到沿斜面向上的作用力F，聯(lián)立①②⑤⑥⑦式可得：
F=$\frac{2{B}^{2}k9il2th^{2}bv}{ρ}$…⑨
當(dāng)鋁條的寬度b′＞b時(shí)，磁鐵以速度v進(jìn)入鋁條間時(shí)，磁鐵受到的作用力變?yōu)镕′，有：
F′=$\frac{2{B}^{2}tbzaybj^{2}b′v}{ρ}$
可見(jiàn)，F(xiàn)′＞F=mgsinθ，磁鐵受到的合力方向沿斜面向上，獲得與運(yùn)動(dòng)方向相反的加速度，磁鐵將減速下滑，此時(shí)加速度最大，之后，隨著運(yùn)動(dòng)速度減小，F(xiàn)′也隨著減小，磁鐵所受的合力也減小，由于磁鐵加速度與所受的合力成正比，則磁鐵的加速度逐漸減�。�
綜上所述，磁鐵做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，直到F′=mgsinθ時(shí)，磁鐵重新達(dá)到平衡狀態(tài)，將再次以較小的速度勻速下滑．
答：
（1）鋁條中與磁鐵正對(duì)部分的電流I是$\frac{mgsinθ}{2Bd}$；
（2）兩鋁條的寬度均為b，磁鐵勻速穿過(guò)鋁條間時(shí)速度v的表達(dá)式是 v=$\frac{ρmgsinθ}{2{B}^{2}zhxawli^{2}b}$；
（3）磁鐵做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，直到F′=mgsinθ時(shí)，磁鐵重新達(dá)到平衡狀態(tài)，將再次以較小的速度勻速下滑．

點(diǎn)評(píng) 該題首先要認(rèn)真讀題，搞清問(wèn)題的情景，抓住磁鐵運(yùn)動(dòng)、鋁條不動(dòng)與磁鐵不動(dòng)、鋁條運(yùn)動(dòng)的效果相同，建立起物理模型，運(yùn)用電磁感應(yīng)的規(guī)律得到安培力與速度的關(guān)系式．