Question

1．如圖是一高山滑雪運動場中的滑道，BD附近是很小的一段曲道，可認為是半徑均為R=40m的兩圓滑連接的圓形滑道，B點和D點是兩圓弧的最高點和最低點，圓弧長度遠小于斜面AD及BC長度，從A到D點不考慮摩擦力的作用．一個質(zhì)量m=60kg的高山滑雪運動員，從A點由靜止開始沿滑道滑下，從B點水平拋出時剛好對B點沒有壓力，已知AB兩點間的高度差為h=25m，滑道的傾角θ=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）運動員在B點時的速度．
（2）運動員在BC斜面的落點C到B點的距離（B點可認為是斜面上的最高點）．
（3）若BD之間的高度差可忽略不計，求運動員在D點對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）從B點水平拋出時剛好對B點沒有壓力，可知B點靠重力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出B點的速度．
（2）根據(jù)平拋運動水平位移和豎直位移的關(guān)系求出運動的時間，結(jié)合水平位移和幾何關(guān)系求出BC間的距離．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和速度位移公式求出D點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出在D點所受的支持力，從而得出壓力的大小．

解答 解：（1）運動員在B點時只受重力，根據(jù)牛頓第二定律有：$mg=m\frac{v_B^2}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=20m/s
（2）設運動員從B運動到C點的時間為t，根據(jù)平拋運動規(guī)律有：
運動員豎直位移為：y=$\frac{g{t}^{2}}{2}$  ①
運動員水平位移為：x=v_Bt  ②
由幾何關(guān)系可知：tanθ=$\frac{y}{x}$ ③
解①②③式得：t=3s
把t的值代入②式得：x=60m
所以BC的距離為：s=$\frac{x}{cosθ}$=$\frac{60}{0.8}$m=75m
（3）運動員從A運動到D的過程中，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ=ma
根據(jù)運動學規(guī)律有：${v}_{D}^{2}=2a\frac{h}{sinθ}$
運動員在D點時，根據(jù)牛頓第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上三式，代入數(shù)據(jù)解得：F_N=1350N．
根據(jù)牛頓第三定律，所以運動員對D點的壓力為1350N． 
答：（1）運動員在B點時的速度為20m/s；
（2）運動員在BC斜面的落點C到B點的距離為75m；
（3）運動員在D點對軌道的壓力為1350N．

點評 本題考查了圓周運動和平拋運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．