Question

9．如圖所示，在邊長L=3$\sqrt{3}$dm的等邊三角形abc的外接圓區(qū)域內(nèi)有平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，將質(zhì)量m=2×10^-13kg，電量q=+1×10^-10C的點(diǎn)電荷從a點(diǎn)以相等的速率沿不同方向射出時(shí)可到達(dá)圓上的不同位置，其中電荷到達(dá)b點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大，其動(dòng)能增量為△E_k=8.1×10^-10J．若將該點(diǎn)以某一初速度v₀沿ac方向從a點(diǎn)射出時(shí)恰通過b點(diǎn)，現(xiàn)撤去電場(chǎng)并在該圓形區(qū)域內(nèi)加上垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，仍讓該點(diǎn)電荷從a點(diǎn)沿ac方向以v₀射出時(shí)也能通過b點(diǎn)．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）點(diǎn)電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)榱Ｗ拥竭_(dá)b點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大，電場(chǎng)力做功最大，b點(diǎn)電勢(shì)最低，先分析出場(chǎng)強(qiáng)的方向，再根據(jù)動(dòng)能定理求出場(chǎng)強(qiáng)E；
（2）電荷沿ac方向射入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出${v}_{0}^{\;}$，換成磁場(chǎng)后，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再由洛倫茲力提供向心力得出半徑公式，即可求出B；
（3）由幾何關(guān)系求出圓心角，根據(jù)$t=\frac{θ}{360°}T$，求出在磁場(chǎng)中的時(shí)間，即可求出比值

解答 解：（1）由于電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)，且點(diǎn)電荷從a點(diǎn)沿不同方向射出時(shí)到達(dá)b點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最大，說明在圓周上b點(diǎn)的電勢(shì)最低，則過b點(diǎn)所作外接圓的切線為b點(diǎn)的等勢(shì)線，又因?yàn)殡妶?chǎng)線總是與等勢(shì)面相垂直，且由高等勢(shì)面指向低等勢(shì)面，故圖中的Ob方向即為場(chǎng)強(qiáng)方向
設(shè)外接圓半徑為R，由幾何關(guān)系知L=2Rcos30°  ①，
由功能關(guān)系知$△{E}_{k}^{\;}=Eq（R+Rsin30°）$②，
解得：R=0.3m，E=18N/C
（2）電荷沿ac方向射入時(shí)在電場(chǎng)中恰做類平拋運(yùn)動(dòng)，由$Rcos30°={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
$R+Rsin30°=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}{t}_{1}^{2}$
得${t}_{1}^{\;}=0.01s$，${v}_{0}^{\;}=15\sqrt{3}m/s$
換成磁場(chǎng)后仍過ab兩點(diǎn)，則圓心在ab的垂直平分線上，同時(shí)圓心還應(yīng)在過a點(diǎn)垂直于ac的直線上，如圖中的${O}_{1}^{\;}$點(diǎn)，由左手定則知磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向下，由幾何關(guān)系可知其圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=R
又電荷做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得$r=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)可得$B=\frac{\sqrt{3}}{10}T$
（3）由幾何關(guān)系知電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了120°圓心角，因此對(duì)應(yīng)的時(shí)間為${t}_{2}^{\;}=\frac{120°}{360°}×\frac{2πm}{qB}=\frac{4π×1{0}_{\;}^{-2}}{3\sqrt{3}}s$
于是對(duì)應(yīng)的時(shí)間之比為$\frac{{t}_{2}^{\;}}{{t}_{1}^{\;}}=\frac{4π}{3\sqrt{3}}$
整理可得：$\frac{{t}_{2}^{\;}}{{t}_{1}^{\;}}=\frac{4\sqrt{3}π}{9}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為18N/C；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{\sqrt{3}}{10}T$；
（3）點(diǎn)電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意分析過程，并結(jié)合各過程中涉及到的運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用合理的物理規(guī)律求解．