Question

7．如圖所示，有A、B兩顆行星繞同一顆恒星M做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為T₁，B行星的周期為T₂，在某一時(shí)刻兩行星相距最近，則（　　）

• A． 經(jīng)過時(shí)間t=T₁+T₂，兩行星再次相距最近
• B． 經(jīng)過時(shí)間t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，兩行星再次相距最近
• C． 經(jīng)過時(shí)間t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，兩行星相距最遠(yuǎn)經(jīng)
• D． 經(jīng)過時(shí)間t=$\frac{{T}_{1}+{T}_{2}}{2}$，兩行星相距最遠(yuǎn)

Answer 1

分析 兩行星相距最近時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一半徑方向上；兩行星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩行星應(yīng)該在同一直徑上；由于A的軌道半徑小，所以A的角速度大，即A轉(zhuǎn)得較快；當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)一圈時(shí)兩行星再次相距最近；當(dāng)A比B多轉(zhuǎn)半圈時(shí)兩行星相距最遠(yuǎn)．

解答 解：A、半徑越大周期越大，故由題意知，兩衛(wèi)星周期滿足T₁＜T₂，某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過時(shí)間t₁兩衛(wèi)星再次相距最近時(shí)，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過2π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{1}=2π$，解得${T}_{1}=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$．故A錯(cuò)誤，B正確．
C、同理當(dāng)兩顆衛(wèi)星經(jīng)過時(shí)間t₂兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{2}=π$，解得${t}_{2}=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$，故C、D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)幾何關(guān)系得到兩顆衛(wèi)星相距最近和相距最遠(yuǎn)所滿足的角度關(guān)系，最近時(shí)兩衛(wèi)星在同一半徑上角度差為2π弧度，衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩衛(wèi)星在同一直徑上，轉(zhuǎn)過的角度差為π弧度，這是解決本題的關(guān)鍵．