Question

9．我國(guó)執(zhí)行首次載人航天飛行的神州五號(hào)飛船于2003年10月15日在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛船由長(zhǎng)征-2F運(yùn)載火箭先送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道，在B點(diǎn)實(shí)施變軌后，再進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖所示．已知飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，近地點(diǎn)A距地面高度為h₁，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，求：
（1）地球的第一宇宙速度大小；
（2）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a₁大��；
（3）遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)距地面的高度h₂大�。�

Answer 1

分析 （1）可以先由重力加速度的表達(dá)式求出地球質(zhì)量，然后直接根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力求解速度；
（2）可以先由重力加速度的表達(dá)式求出地球質(zhì)量，然后直接根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（3）根據(jù)飛n圈的時(shí)間為t，先求出周期，再由在預(yù)定軌道上時(shí)萬有引力等于向心力求出預(yù)定軌道的軌道半徑，最后得出B點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）在地面上$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg①
地球的第一宇宙速度時(shí)，根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$②
聯(lián)立①②知v=$\sqrt{gR}$
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，在A點(diǎn)受到的地球引力為F=$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$=ma_A③
聯(lián)立①③得 a_A=$\frac{{R}^{2}g}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（3）飛船在預(yù)定圓軌道飛行的周期
T=$\frac{t}{n}$
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{2}）}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h₂）
聯(lián)立解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R
答：（1）地球的第一宇宙速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）飛船在近地點(diǎn)A的加速度a_A大小為 $\frac{{R}^{2}g}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$；
（3）遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度h₂大小為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 衛(wèi)星在橢圓軌道運(yùn)行時(shí)的加速度目前只能根據(jù)牛頓第二定律求解；衛(wèi)星的軌道半徑與線速度、角速度、周期對(duì)應(yīng)．