Question

2．一卡車以v=15m/s的速度在平直公路上勻速行駛，在卡車后面x=100m處一小汽車由靜止開始追趕卡車．小汽車先做勻加速運動，加速度大小為3m/s²，加速到最大速度v_m=24m/s后做勻速運動．試求：
（1）小汽車追上卡車前二者相距的最大距離．
（2）小汽車追上卡車所用的時間．

Answer 1

分析 （1）追上前小汽車前兩車速度相等時兩車相距最大，據速度時間關系求得速度，再根據位移時間關系求得相距最大距離；
（2）根據位移關系求得小汽車追上卡車所用時間即可．

解答 解：（1）追上前兩車速度相等時，兩車相距最遠，據速度時間有關系有：
t=$\frac{v}{a}$=$\frac{15}{3}s=5s$
此過程中卡車位移為：x_卡=vt=15×5m=75m
小汽車位移為：${x}_{小}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×{5}^{2}m=37.5m$
此時兩車間最大距離為：△x=x+x_卡-x_小=100+75-37.5m=137.5m
（2）小汽車加速過程中的平均速度為：$\overline{v}=\frac{{v}_{m}+0}{2}=12m/s＜15m/s$
所以小汽車在勻速階段追上卡車
令小汽車追上卡車所用時間為t，則小汽車加速的時間為：$t′=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{24}{3}s=8s$
此過程中卡車的位移為：x_卡=vt
小汽車加速的位移為：：${x}_{小}′=\frac{1}{2}at{′}^{2}=\frac{1}{2}×3×{8}^{2}m=96m$，
勻速運動的位移為：x_小″=v_m（t-t′）
由追上時的位移關系：x+x_卡=x_小′+x_小″
即：100+15t=96+24×（t-8）
解得：t=21.78s
答：（1）小汽車追上卡車前二者相距的最大距離為137.5m；
（2）小汽車追上卡車所用的時間為21.78s．

點評 掌握追及相遇問題相距最大的臨界條件是正確解題的關鍵，能根據位移關系求得相遇時間，注意判定小汽車在加速度還是勻速階段追上卡車．