Question

5．天文工作者觀測到某行星的半徑為R₁，自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T₂．若萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的平均密度；
（2）此行星赤道上的物體隨行星自轉(zhuǎn)的線速度大小v₁及該行星的第一宇宙速度v₂．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞行星公轉(zhuǎn)時，根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動的向心力可以列式求出行星的質(zhì)量M，進一步求行星的平均密度；
（2）根據(jù)公式v=$\frac{2πr}{T}$求此行星赤道上的物體隨行星自轉(zhuǎn)的線速度大小v₁．由萬有引力等于向心力，求該行星的第一宇宙速度v₂．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞行星公轉(zhuǎn)時，由萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動所的向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}$
解得行星的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
行星的平均密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}_{1}^{3}}$
（2）此行星赤道上的物體隨行星自轉(zhuǎn)的線速度大小為：v₁=$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}$
根據(jù)萬有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{1}}$
又 M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
答：（1）該行星的平均密度是$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（2）此行星赤道上的物體隨行星自轉(zhuǎn)的線速度大小v₁及該行星的第一宇宙速度v₂分別為$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}$和$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$．

點評 解決問題的關(guān)鍵根據(jù)萬有引力提供圓周運動的向心力，理清衛(wèi)星的向心力來源，即可研究．