Question

6．已知地球半徑為R為6.4×10⁴km，地球表面重力加速度為g取9.8m/m²，不考慮地球自轉的影響．
（1）推導并計算第一宇宙速度v₁；
（2）估算地球同步衛(wèi)星的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運動的速度，根據萬有引力等于重力求解．
（2）根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出地球同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度即為近地衛(wèi)星的速度，根據萬有引力等于重力得
  mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得 v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{9.8×6.4×1{0}^{7}}$≈7900m/s=7.9km/s
（2）對于地球同步衛(wèi)星，其周期為 T=24h=24×36000s
根據萬有引力等于向心力得
   G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
在地球表面，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得 h≈3.6×10⁴km
答：
（1）第一宇宙速度v₁是7.9km/s．
（2）地球同步衛(wèi)星的高度約為3.6×10⁴km．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩個理論，并能靈活運用，注意衛(wèi)星的高度和衛(wèi)星的軌道半徑是兩個不同的概念．