Question

6．如圖所示，相距為b、板間電壓為U的平行金屬板M、N間有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在pOy區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；pOx區(qū)域?yàn)闊o(wú)場(chǎng)區(qū)．一正離子沿平行于金屬板、垂直磁場(chǎng)射入兩板間并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從H（0，2b）點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第Ⅰ象限．
（1）求離子在平行金屬板間的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）若離子經(jīng)Op上某點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，最后垂直x軸離開(kāi)第Ⅰ象限，求離子在第Ⅰ象限磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）要使離子一定能打在x軸上，則離子的荷質(zhì)比$\frac{q}{m}$應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）正離子沿平行于金屬板垂直磁場(chǎng)射入兩板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，由平衡條件和E₀=$\frac{U}msi1bf6$結(jié)合可求出離子在平行金屬板間的運(yùn)動(dòng)速度．
（2）離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$圈后從Op上離開(kāi)磁場(chǎng)，可求出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間$\frac{T}{4}$，離開(kāi)磁場(chǎng)后離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)求出位移，即可求出時(shí)間．
（3）帶電粒子進(jìn)入pOy區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)題由幾何關(guān)系可求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，可求出比荷的范圍．

解答 解：（1）離子在平行板內(nèi)勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此有  qvB₀=qE   
又E=$\frac{U}9dj1qfr$                 
解得離子在平行板內(nèi)的速度為v=$\frac{U}{d{B}_{0}}$        
（2）如圖為離子在第I象限磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，
由幾何關(guān)系得，軌跡半徑為r=$\frac{a}{2}$，
軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=$\frac{π}{2}$             
運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πad{B}_{0}}{U}$           
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=$\frac{θ}{2π}$•T=$\frac{1}{4}$•T=$\frac{πad{B}_{0}}{4U}$      
（3）要使離子一定能打在x軸上，離子在磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軌跡與OP相切時(shí)，圓的最小半徑如圖所示

由幾何關(guān)系r₂+$\sqrt{2}$r₂=a  得r₂=$\frac{a}{1+\sqrt{2}}$   
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$ 得                
$\frac{q}{m}$
=$\frac{v}{B{r}_{2}}$=（1+$\sqrt{2}$）$\frac{U}{d{B}_{0}Ba}$       
即$\frac{q}{m}$必須小于（1+$\sqrt{2}$）$\frac{U}{d{B}_{0}Ba}$．
答：（1）離子在平行金屬板間的運(yùn)動(dòng)速度$\frac{U}{d{B}_{0}}$；
（2）離子在第Ⅰ象限磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$\frac{πad{B}_{0}}{4U}$；
（3）$\frac{q}{m}$必須小于（1+$\sqrt{2}$）$\frac{U}{d{B}_{0}Ba}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中離子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題是速度選擇器的模型，而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要注意在磁場(chǎng)中畫(huà)軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑、由圓心角確定時(shí)間都是常規(guī)思路．