Question

（2006?江蘇模擬）如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為2m的小球B連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止；質(zhì)量為m的小球A以初速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)，接著逐漸壓縮彈簧并使B運(yùn)動(dòng)，過(guò)一段時(shí)間，A與彈簧分離．（彈簧始終處于彈性限度以內(nèi)）
（1）在上述過(guò)程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能是多大；
（2）若開(kāi)始時(shí)在B球的右側(cè)某位置固定一塊擋板（圖中未畫(huà)出），在A 球與彈簧分離之前使B球與擋板發(fā)生碰撞，并在碰后立刻將擋板撤走．設(shè)B球與固定擋板的碰撞時(shí)間極短，碰后B球的速度大小不變但方向相反．試求出此后彈簧的彈性勢(shì)能最大值的范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)A、B速度相同時(shí)，彈簧的勢(shì)能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．
（2）對(duì)B球與擋板碰撞前瞬間和B與擋板碰后反彈，當(dāng)A、B速度相等兩個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，通過(guò)能量守恒求出最大彈性勢(shì)能與B速度的表達(dá)式．通過(guò)對(duì)B速度最大值的范圍得出彈簧彈性勢(shì)能最大值的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)球在彈力作用下加速運(yùn)動(dòng)，彈簧勢(shì)能增加，當(dāng)A、B速度相同時(shí)，彈簧的勢(shì)能最大．
設(shè)A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢(shì)能為E，則A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv₀=（m+2m）v①
由機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

(m+2m)v2+E…②
聯(lián)立兩式得：E=

1

3

m

v

2 0

…③
（2）設(shè)B球與擋板碰撞前瞬間的速度為v_B，此時(shí)A的速度為v_A．
系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv₀=mv_A+2mv_B…④
B與擋板碰后，以v_B向左運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧，當(dāng)A、B速度相同（設(shè)為v_共）時(shí)，彈簧勢(shì)能最大，為E_m，則：mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤

1

2

m

v

2 0

=

1

2

×3m

v

2 共

+Em…⑥
由④⑤兩式得：v共=

v0-4vB

3

代入⑥式，化簡(jiǎn)得：Em=

8m

3

[-(vB-

v0

4

)2+

3 v 2 0

16

]…⑦
而當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)相碰，v_B有最大值v_Bm，則：
mv₀=mv_A′+2mv_Bm          

1

2

mv₀²=

1

2

mv_A′²+

1

2

×2mv_Bm²
聯(lián)立以上兩式得：v_Bm=

2

3

v0即v_B的取值范圍為：0＜

v

B

≤

2

3

v0…⑧
結(jié)合⑦式可得：當(dāng)v_B=

v0

4

時(shí)，E_m有最大值為：

1

2

m

v

2 0

…⑨
當(dāng)v_B=

2v0

3

時(shí)，E_m有最小值為：

1

27

m

v

2 0

答：（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能是E=

1

3

m

v

2 0

．
（2）此后彈簧的彈性勢(shì)能最大值的范圍為[

1

27

m

v

2 0

，

1

2

m

v

2 0

]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，且多次運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，是一道難題．