Question

4．如圖所示，在真空室中平面直角坐標系的y軸豎直向上，x軸上的P點與Q點關(guān)于坐標原點O對稱，PQ間的距離d=30cm．坐標系所在空間存在一勻強電場，場強的大小E=1.0N/C．一帶電油滴在xOy平面內(nèi)，從P點與x軸成30°的夾角射出，該油滴將做勻速直線運動，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所帶電荷量q=1.0×10^-7C，重力加速度為g=10m/s²．
（1）求油滴的質(zhì)量m．
（2）若在空間疊加一個垂直于xOy平面的圓形有界勻強磁場，使油滴通過Q點，且其運動軌跡關(guān)于y軸對稱．已知磁場的磁感應強度大小為B=2.0T，求：
a．油滴在磁場中運動的時間t；
b．圓形磁場區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析 （1）對帶電油滴進行受力分析，根據(jù)牛頓運動定律即可求解；
（2）帶電油滴進入勻強磁場，其軌跡如圖所示，根據(jù)向心力公式、求出半徑，進而求出周期，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓心角，繼而求出粒子在磁場中運動的時間，由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運動，且運動時間相等．根據(jù)幾何關(guān)系和速度公式求解粒子在這兩段運動過程中的時間，三段運動時間之和即為總時間，連接MN，當MN為圓形磁場的直徑時，圓形磁場面積最小，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，S=πr²求解面積

解答 解：（1）對帶電油滴進行受力分析，根據(jù)牛頓運動定律有：
qE-mg=0
所以$m=\frac{qE}{g}=1.0×1{0}^{-8}kg$
（2）帶電油滴進入勻強磁場，其軌跡如圖所示，設其做勻速圓周運動設圓周運動的半徑為R、運動周期為T、油滴在磁場中運動的時間為t，根據(jù)牛頓第二定律：
所以$Bqv=\frac{{mv}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{Bq}=0.10m$
所以$T=\frac{2πr}{v}=0.1πs$
設帶電油滴從M點進入磁場，從N點射出磁場，由于油滴的運動軌跡關(guān)于y軸對稱，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知∠MO'N=60°，所以，帶電油滴在磁場中運動的時間
${t}_{2}=\frac{T}{6}=\frac{0.1π}{6}$s
由題意可知，油滴在P到M和N到Q的過程中做勻速直線運動，且運動時間相等．根據(jù)幾何關(guān)系可知，
$PM=NQ=\frac{\frac35vvtv9{2}-Rsin30°}{cos30°}=\frac{0.2}{3}\sqrt{3}m$
所以油滴在P到M和N到Q過程中的運動時間為：${t}_{1}={t}_{3}=\frac{PM}{v}=\frac{0.1}{3}\sqrt{3}$s
則油滴從P到Q運動的時間為：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=（\frac{0.2}{3}\sqrt{3}+\frac{0.1π}{6}）s=0.17s$
（3）連接MN，當MN為圓形磁場的直徑時，圓形磁場面積最小，如圖所示．根據(jù)幾何關(guān)系圓形磁場的半徑
r=Rsin30°=0.05m
其面積為：S=πr²=0.0025πm²=7.9×10^-3m²．
答：：（1）求油滴的質(zhì)量m為1.0×10^-8kg．
（2）a．油滴在磁場中運動的時間為0.17s；
b．圓形磁場區(qū)域的最小面積S為7.9×10^-3m²．

點評 本題關(guān)鍵是先確定油滴的運動情況，并畫出運動軌跡，然后逐段逐段分析，勻速圓周運動階段洛倫茲力提供向心力，并結(jié)合幾何知識求解，難度適中．