Question

18．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的xoy第一象限中存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為4E₀，虛線是電場(chǎng)的理想邊界線，虛線右端與x軸相交于A（L，0）點(diǎn)，虛線與x軸所圍成的空間內(nèi)沒有電場(chǎng)；在第二象限中存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E₀．在M（-L，L）和N（-L，0）兩點(diǎn)的連線上有一個(gè)粒子發(fā)生器裝置，可產(chǎn)生質(zhì)量均為m，電量均為q的靜止的帶正電的粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，且整個(gè)裝置處于真空中．
（1）若粒子從M點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第一象限后始終在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)并恰好到達(dá)A點(diǎn)，求該過程中粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t及到達(dá)A點(diǎn)的速度的大��；
（2）若從MN連線上的各點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)的所有粒子，經(jīng)第一象限的電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)穿過虛線后都能到達(dá)A點(diǎn)，求此邊界線（圖中虛線）的方程；
（3）若將第一象限的電場(chǎng)撤去，在第一、四象限中加上垂直平面xoy的圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，OA為圓形區(qū)域的直徑，從MN連線上的各點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)的一些粒子，經(jīng)第一象限的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都能從圓形區(qū)域的最低點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求此勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向和大�。�

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求得加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與到達(dá)A的速度；
（2）結(jié)合（1）的公式，按照題目的條件寫出相應(yīng)的方程，即可求解；
（3）根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中加速，可知，粒子的電性，再根據(jù)左手定則，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)方向，即可判定磁場(chǎng)的方向，由幾何關(guān)系，知道已知長(zhǎng)度與運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的關(guān)系，從而求解磁場(chǎng)的大�。�

解答 解：（1）粒子在第二象限從M點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)有：
根據(jù)牛頓第二定律：E₀q=ma₁，
勻加速運(yùn)動(dòng)位移$L=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$
勻加速運(yùn)動(dòng)的末速度${v_1}={a_1}t_1^{\;}$
進(jìn)入第一象限在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)有：
根據(jù)牛頓第二定律，有4E₀q=ma₂
豎直方向$y=L=\frac{1}{2}{a_2}t_2^2$
水平方向$x=L={v_1}t_2^{\;}$
豎直分速度${v_y}={a_2}t_2^{\;}$
聯(lián)立求解得：t=${t_1}+t_2^{\;}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{{q{E_0}}}}$
${v_A}=\sqrt{v_y^2+v_1^2}=\sqrt{\frac{{10q{E_0}L}}{m}}$
（2）設(shè)從MN連線上的P（-L，y₀）點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)的某一粒子，經(jīng)第一象限的電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)并通過虛線上的Q（y，x）點(diǎn)后沿直線到達(dá)A點(diǎn)，如圖
電場(chǎng)E₀中加速：${E_0}qL=\frac{1}{2}mv_{{0^{\;}}}^2$
電場(chǎng)4E₀中偏轉(zhuǎn)：${y_0}-y=\frac{1}{2}\frac{{4{E_0}q}}{m}t_{\;}^2$
$x=v_{{0^{\;}}}^{\;}t$
${v_y}=\frac{{4{E_0}q}}{m}t$
由圖有：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{y}{L-x}$
聯(lián)立求得：$y=-\frac{2}{L}x+2{x^2}$且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；

（3）粒子在電場(chǎng)E₀中加速：${E_0}qL=\frac{1}{2}mv_{{0^{\;}}}^2$
設(shè)在磁場(chǎng)中勻速圓周的半徑為r，有$r=\frac{{mv_{{0^{\;}}}^{\;}}}{qB}$，由題有$R=\frac{L}{2}$
因PO₂、O₁Q都在豎直方向，因此四邊形PO₂QO₁為菱形．則r=R
解得 $B=2\sqrt{\frac{{2mE_{{0^{\;}}}^{\;}}}{qL}}$，由左手定則得方向垂直紙面向外

答：（1）該過程中粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}^{\;}}}$及到達(dá)A點(diǎn)的速度的大小$\sqrt{\frac{10q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$；
（2）此邊界線（圖中虛線）的方程：$y=-\frac{2}{L}x+2{x^2}$且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；
（3）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直紙面向外和大小$2\sqrt{\frac{2m{E}_{0}^{\;}}{qL}}$

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是分析粒子的受力情況，再分析運(yùn)動(dòng)情況．對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)要掌握分解的方法，運(yùn)用幾何知識(shí)確定幾何關(guān)系是關(guān)鍵．