Question

19．截面為矩形的透明材料ABCD，P、Q分別為AB、AD上的兩點，已知A、P距離為a，A、Q距離為2a，現(xiàn)有一細束光線從P點以某一入射角θ（未知）射入該材料，經(jīng)折射后到達Q點，且在Q點剛好能發(fā)生全反射．
（ⅰ）求材料的折射率n
（ ii）改變光線從AB面P點射入時的入射角，求光線從AD邊射出的區(qū)域長度．

Answer 1

分析 （i）光線在Q點剛好能發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C，由折射定律得到光線在AB面上入射角和折射角的關(guān)系．根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$及幾何關(guān)系結(jié)合求解．
（ii）分析知Q點即為射出區(qū)域的最下邊的點，而當(dāng)AB面射入時的入射角趨于90°時，設(shè)對應(yīng)光線射到M點，即為射出區(qū)域的最上邊的點．根據(jù)幾何知識求解．

解答 解：（i）在AB面上折射時，設(shè)對應(yīng)的入射角為θ，折射角為r₁，由折射定律得：
   n=$\frac{sinθ}{sin{r}_{1}}$
由幾何關(guān)系有：sinr₁=$\frac{\overline{AP}}{\overline{PQ}}$=$\frac{\overline{AP}}{\sqrt{{\overline{AP}}^{2}+{\overline{AQ}}^{2}}}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
又在Q點剛好發(fā)生全反射，設(shè)臨界角為C，有：
 r₁+C=90°
又sinC=$\frac{1}{n}$
聯(lián)立得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{1}{cos{r}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}{r}_{1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
（ii）分析知Q點即為射出區(qū)域的最下邊的點，而當(dāng)AB面射入時的入射角趨于90°時，設(shè)對應(yīng)光線射到M點，即為射出區(qū)域的最上邊的點．設(shè)此時在AB邊上對應(yīng)的折射角為C．
則有：$\overline{AM}$=$\overline{AP}$cotC
故區(qū)域長度為：$\overline{MQ}$=$\overline{AQ}$-$\overline{AM}$
解得：$\overline{MQ}$=1.5a
答：（�。┎牧系恼凵渎蕁是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（ ii）改變光線從AB面P點射入時的入射角，光線從AD邊射出的區(qū)域長度是1.5a．

點評 本題是全反射、折射定律、臨界角等知識的綜合應(yīng)用，首先要正確作出光路圖，運用幾何知識研究折射角的正弦．掌握臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，結(jié)合全反射條件分析這類問題．