Question

17．如圖光滑的水平面上釘有兩枚鐵釘A和B，相距0.1m，長1m的柔軟細(xì)繩拴在A上，另一端系一質(zhì)量為0.5kg的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉緊，給小球以2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運動，由于釘子B的存在，使線慢慢地纏在A、B上．如果細(xì)線的抗斷拉力為7N，從開始運動到細(xì)線斷裂需經(jīng)歷多長時間？

Answer 1

分析 細(xì)線斷裂之前，細(xì)線拉力與速度垂直，小球的速度大小不變．隨著細(xì)線不斷纏在A、B上，圓周運動的半徑不斷減小，細(xì)線的拉力不斷增大，當(dāng)細(xì)線剛斷裂時，拉力大小為7N，由公式T=m$\frac{{v}^{2}}{r}$求出此時的半徑，結(jié)合數(shù)學(xué)知識分析求解總時間．

解答 解：依題意可知，小球每轉(zhuǎn)過半圈運動半徑減小0.1m，設(shè)經(jīng)過n 個半圈繩斷，則 T_m＜$m\frac{v^2}{{{r_0}-n△r}}$
代入數(shù)據(jù)，解得：n＜8
即小球轉(zhuǎn)完8個半圈繩斷
第一個半圈用時 ${t_1}=\frac{{π{r_0}}}{v}$
第二個半圈用時 ${t_2}=\frac{{π（{r_0}-△r）}}{v}$
依此類推，第八個半圈用時 ${t_8}=\frac{{π（{r_0}-7△r）}}{v}$
從開始運動到繩子斷用時 t=t₁+t₂+…+t₈
代入數(shù)據(jù)，解得：t=8.2s
答：如果細(xì)線的抗拉力為7N，從開始經(jīng)8.2s時間繩子斷裂．

點評 本題是物理中數(shù)列類型，結(jié)合圓周運動向心力的來源，通過數(shù)學(xué)知識求出拉力和時間的通項表達式是解決本題的關(guān)鍵．