Question

3．如圖所示，間距為d的光滑平行金屬導(dǎo)軌傾斜地固定，與水平面之間的夾角為θ，在導(dǎo)軌的頂端連接一阻值為2R的定值電阻．導(dǎo)軌處于垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為B，兩質(zhì)量均為m、阻值均為R的導(dǎo)體棒甲和乙放置在導(dǎo)軌底端，其中導(dǎo)體棒甲的下端有一垂直導(dǎo)軌放置的光滑擋板．在導(dǎo)體棒乙上加一平行導(dǎo)軌向上的外力F，使導(dǎo)體棒乙由靜止開始沿導(dǎo)軌向上做勻加速直線運動，其加速度大小為a，整個過程中，導(dǎo)體棒甲、乙始終與導(dǎo)軌垂直，且與導(dǎo)軌接觸良好，忽略導(dǎo)軌的電阻，重力加速度用g表示．
（1）如果從導(dǎo)體棒乙開始運動計時，則需要多長時間導(dǎo)體棒甲對底端擋板的作用力為零？
（2）當(dāng)導(dǎo)體甲與擋板之間的作用力為零時，定值電阻消耗的電功率是多少？
（3）請寫出導(dǎo)體棒乙開始運動到導(dǎo)體到導(dǎo)體棒甲與擋板之間作用力為零的過程中外力F時間t的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒甲對底端擋板的作用力為零時，安培力等于重力平行斜面的分力，根據(jù)平衡條件得到安培力；根據(jù)安培力公式得到通過甲的電流；
導(dǎo)體乙相當(dāng)于電源，甲和電阻2R是并聯(lián)關(guān)系；
導(dǎo)體棒乙做勻加速直線運動，根據(jù)速度時間關(guān)系公式列式求解時間；
（2）在第（1）問中，已經(jīng)求解出了電流，根據(jù)P=I²R求解定值電阻消耗的電功率；
（3）導(dǎo)體棒乙受重力、支持力、拉力和安培力，根據(jù)牛頓第二定律、安培力公式、切割公式和歐姆定律公式列式求解拉力的表達式即可．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒甲對底端擋板的作用力為零時刻，根據(jù)平衡條件，有：mgsinθ=BI₁L，解得：I₁=$\frac{mgsinθ}{BL}$；
故流過2R的電流為：I₂=$\frac{1}{2}{I}_{1}$=$\frac{mgsinθ}{2BL}$，
故干路電流I=I₁+I₂=$\frac{3mgsinθ}{2BL}$，
故電動勢：E=I₁R+IR=$\frac{5mgRsinθ}{2BL}$；
根據(jù)E=BLv=BLat，解得：t=$\frac{5mgRsinθ}{{2{B^2}{L^2}a}}$；
（2）當(dāng)導(dǎo)體甲與擋板之間的作用力為零時，定值電阻消耗的電功率：P=$I_2^2•2R={（\frac{mgsinθ}{2BL}）^2}×2R=\frac{{{m^2}{g^2}Rsi{n^2}θ}}{{2{B^2}{L^2}}}$；
（3）對導(dǎo)體棒甲，根據(jù)切割公式，有：B=BLv=BLat，
根據(jù)安培力公式，有：F_A=BIL=B$\frac{BLat}{R+\frac{R•2R}{R+2R}}$L=$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}at}{5R}$；
根據(jù)牛頓第二定律，有：F-F_A-mgsinθ=ma，
解得：F=$\frac{{3{B^2}{L^2}at}}{5R}+m（gsinθ+a）$；
答：（1）如果從導(dǎo)體棒乙開始運動計時，則需要$\frac{5mgRsinθ}{2{B}^{2}{L}^{2}a}$長時間導(dǎo)體棒甲對底端擋板的作用力為零；
（2）當(dāng)導(dǎo)體甲與擋板之間的作用力為零時，定值電阻消耗的電功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）導(dǎo)體棒乙開始運動到導(dǎo)體到導(dǎo)體棒甲與擋板之間作用力為零的過程中外力F時間t的關(guān)系式為F=$\frac{{3{B^2}{L^2}at}}{5R}+m（gsinθ+a）$．

點評 本題是力電綜合問題，關(guān)鍵是明確電路結(jié)構(gòu)，知道導(dǎo)體棒的受力情況和運動情況，根據(jù)牛頓第二定律、切割公式、安培力公式等列式分析．