Question

6．如圖，在豎直平面內(nèi)由$\frac{1}{4}$圓弧AB和$\frac{1}{2}$圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一小球在A點(diǎn)正上方與A相距$\frac{R}{4}$的O點(diǎn)由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．
（1）假設(shè)A點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面，分別求小球在O點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能的值．
（2）通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)A點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面，小球在O點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能為正值，在B點(diǎn)的重力勢(shì)能為負(fù)值，由E_p=mgh求解．
（2）假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度，與臨界速度比較，即可判斷小球能否到C點(diǎn)．

解答 解：（1）假設(shè)A點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面，小球在O點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能為：
E_PO=mg•$\frac{R}{4}$=$\frac{mgR}{4}$
在B點(diǎn)的重力勢(shì)能為：E_PO=-mgR
（2）若假設(shè)小球能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速率為v，軌道對(duì)小球的彈力為N，根據(jù)向心力得：
mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$
 又因?yàn)镹≥0，所以得 v≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$…①
又根據(jù)機(jī)械能守恒得：mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
 則v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$…②
由①②比較知假設(shè)成立，即小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．
答：（1）小球在O點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能的值分別為$\frac{mgR}{4}$和-mgR．
（2）小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程，把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)臨界速度的求法：重力等于向心力，同時(shí)要熟練運(yùn)用機(jī)械能守恒定律．要注意重力勢(shì)能的相對(duì)性，當(dāng)物體在零勢(shì)能面下方時(shí)，重力勢(shì)能是負(fù)值．