Question

如圖所示，光滑水平面上有兩個(gè)質(zhì)量分別為m₁、m₂的小球a、b，球a以水平速度v_o=1m/s向右勻速運(yùn)動(dòng)，球b處于靜止?fàn)顟B(tài)．兩球右側(cè)有一豎直墻壁，假設(shè)兩球之間、球與墻壁之間發(fā)生正碰時(shí)均無(wú)機(jī)械能損失，為了使兩球能發(fā)生、而且只能發(fā)生兩次碰撞，試討論兩球的質(zhì)量之比m₁/m₂應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

設(shè)球a和球b第一次碰撞后速度分別為v₁和v₂，取向右為正方向．
由系統(tǒng)動(dòng)量守恒：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂…①
系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…②
解得：v₁=

m1-m2

m1+m2

v₂=

2m1

m1+m2

…③
討論情況分別如下：
（1）、當(dāng)m₁＞m₂時(shí)，碰后a、b兩球均向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球b與墻壁碰后以速度v₂返回，并將與球a發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰后兩球速度分別為v₁′，v₂′則有：
m₁v₁+m₂（-v₂）=m₁v₁′+m₂v₂′

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²=

1

2

m₁v₁′²+

1

2

m₂v₂′²
解得：v₁′=

(m1-m2)2-4m1m2

(m1+m2)2

…④
v₂′=

4m1(m1-m2)

(m1+m2)2

…⑤
因?yàn)閙₁＞m₂，故第二次碰后球b向右運(yùn)動(dòng)將再次與墻相碰，并以v₂′返回；若要球a和球b不發(fā)生第三次碰撞，則應(yīng)滿足 v₁′＜0  且v₂′≤|v'₁|
即 （m₁-m₂）²-4m₁m₂＜0 　且4m₁（m₁-m₂）≤|(m1-m2)2-4m1m2|…⑥
解得：3-2

2

＜

m1

m2

＜3+2

2

且1-

2 5

5

≤

m1

m2

≤1+

2 5

5

…⑦
再加上條件m₁＞m₂   得：1＜

m1

m2

≤1+

2 5

5

…⑧
（2）、m₁=m₂時(shí)，由①②得v₁=0，v₂=1m/s球b與墻壁碰后以速度1m/s返回與球a第二次碰撞，碰后a球以1m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，b球靜止，此后兩球不再相碰…⑨
（3）、m₁＜m₂時(shí)，由①②可知v₁＜0，v₂＞0，即a球向左運(yùn)動(dòng)，球b向右運(yùn)動(dòng)并與墻壁碰后原速?gòu)椈�，要使球b與球a發(fā)生第二次碰撞，應(yīng)滿足：
v₂＞-v₁　即：2m₁＞-（m₁-m₂），得

m1

m2

＞

1

3

…⑩
因m₁＜m₂，故兩球第二次相碰后，球a向左運(yùn)動(dòng)的速度必大于球b向左的運(yùn)動(dòng)速度，此后兩球不再發(fā)生碰撞．
綜合（1）（2）（3）得

m1

m2

滿足范圍：

1

3

＜

m1

m2

≤1+

2 5

5

…
答：兩球的質(zhì)量滿足范圍：

1

3

＜

m1

m2

≤1+

2 5

5

．