Question

7．初速為零的勻變速直線運動的常用推論（設t=0開始計時，V₀=0）
（1）等分運動時間（以T為單位時間）
第一、lT末、2T末、3T末…瞬時速度之比為（V_l：V₂：V₃…=1：2：3…）
第二、1T內、2T內、3T內…位移之比（S_l：S₂：S₃…=1：4：9…）
第三、第一個T內、第二個T內、第三個T內…的位移之比為（S_Ⅰ：S_Ⅱ：S_Ⅲ…=l：3：5…）
（2）等分位移（以S為單位位移）
第四、通過lS、2S、3S…所用時間之比為：（t_l：t₂：t₃…=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$…）
第五、通過第一個S、第二個S、第三個S…所用時間之比為（t_l：t₂：t₃…=$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$…）
第六、通過lS、2S、3S…位置的瞬時速度之比為：（V₁：V₂：V₃…=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$…）

Answer 1

分析 初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)v=at求解第1Ts末、2Ts末、3Ts末…速度之比，
根據(jù)$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$求解前1Ts內、2Ts內、3Ts內…位移的比，從而求出第一個Ts內，第二個Ts內，第三個Ts內…位移的比；根據(jù)t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$求解通過連續(xù)相同的位移所用時間之比．根據(jù)$v=\sqrt{2as}$求解第一個T內、第二個T內、第三個T內…的位移之比；

解答 解：初速為零的勻變速直線運動的常用推論
設t=0開始計時，V₀=0，則：
（1）等分運動時間（以T為時間單位），
第一、lT末、2T末、3T末…瞬時速度之比為V_l：V₂：V₃…=1：2：3…
證明：根據(jù)V=at，${V}_{1}^{\;}：{V}_{2}^{\;}：{V}_{3}^{\;}=aT：（a2T）：（a3T）=1：2：3$
第二、1T內、2T內、3T內…位移之比S_l：S₂：S₃…=1：4：9…
證明：根據(jù)$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，${s}_{1}^{\;}：{s}_{2}^{\;}：{s}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}：（\frac{1}{2}a（2T）_{\;}^{2}）$$：（\frac{1}{2}a（3T）_{\;}^{2}）=1：4：9$
第三、第一個T內、第二個T內、第三個T內…的位移之比為
S_Ⅰ：S_Ⅱ：S_Ⅲ…=l：3：5…
證明：第二個T秒內的位移等于前兩個T秒內的位移減去第一個T秒內的位移，第三個T秒內的位移等于前三個T秒內的位移減去前兩個T秒內的位移，…則得
第一個T秒內、第二個T秒內、第三個T秒內…第nT秒內的位移之比為1：（2²-1）：（3²-2²）：…=1：3：5
（2）等分位移（以S位移為單位）
第一、通過lS、2S、3S…所用時間之比為：t_l：t₂：t₃…=l：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$…
證明：根據(jù)$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，得$t=\sqrt{\frac{2s}{a}}$
故${t}_{1}^{\;}：{t}_{2}^{\;}：{t}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{2s}{a}}：\sqrt{\frac{2×2s}{a}}：\sqrt{\frac{2×3s}{a}}$=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$
第二、通過第一個S、第二個S、第三個S…所用時間之比為
t_l：t₂：t₃…=l：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$一$\sqrt{2}$）…
證明：根據(jù)位移公式$s=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
$2s=\frac{1}{2}a（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$
$3s=\frac{1}{2}a（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}）_{\;}^{2}$
由數(shù)學知識解得：t_l：t₂：t₃…=l：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$一$\sqrt{2}$）…
第三、lS末、2S末、3S末…的瞬時速度之比為：
V₁：V₂：V₃…=l：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$…
證明：根據(jù)${v}_{\;}^{2}=2as$得$v=\sqrt{2as}$
故${V}_{1}^{\;}：{V}_{2}^{\;}：{V}_{3}^{\;}=\sqrt{2as}：\sqrt{2a•2s}：\sqrt{2a•3s}$=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$
故答案為：（1）1：2：3                 1：4：9                     1：3：5
（2）1$：\sqrt{2}：\sqrt{3}$                $1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$                  $1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$

點評 本題考查勻變速直線運動的規(guī)律應用，解題的關鍵是記住勻變速直線運動的規(guī)律及推論成立的條件，不能記混，難度適中．