Question

12．如圖，光滑水平面上有質(zhì)量分別為m和M、電荷量分別為q和Q的兩個帶異號電荷的小球A和B（均可視為點電荷），初始時刻，兩球相距L₀，B靜止，A有向右的初速度v₀，并在變力f的作用下保持勻速直線運(yùn)動，某一時刻，兩球之間可以達(dá)到一最大距離．（已知兩點電荷相距r時系統(tǒng)的電勢能為-k$\frac{qQ}{r}$，從開始到兩球間距離達(dá)到最大的過程中變力f做的功為Mv₀²）求：
（1）最大距離L_M．
（2）從開始到兩球間距離達(dá)到最大的過程中球A對球B所做的功．

Answer 1

分析 （1）本題可以以隨A球一起運(yùn)動的參考系S′為參考系，在參考系S′，A球靜止，外力對A球不做功，兩球組成的系統(tǒng)能量守恒．當(dāng)兩球間的距離為L₀時，B球以初速度v₀向左運(yùn)動，隨著B球遠(yuǎn)離A球，其動能在庫侖力作用下逐漸變小，兩球的電勢能增大，當(dāng)B球的動能減小到零時，A、B間距達(dá)到最大值，根據(jù)能量守恒求解最大距離．
（2）為了計算變力f做的功，應(yīng)回到初始時B球相對它靜止的參考系S來考查這個問題．由功能關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）由于A球始終以恒定的速度v₀運(yùn)動，故可以隨A球一起運(yùn)動的參考系S′為參考系．
在參考系S′，因A球靜止，故外力f對A球不做功，A、B兩球組成的系統(tǒng)的能量守恒．當(dāng)兩球間的距離為L₀時，B球以初速度v₀向左運(yùn)動，隨著B球遠(yuǎn)離A球，其動能在庫侖力作用下逐漸變小，兩球的電勢能增大，當(dāng)B球的動能減小到零時，A、B間距達(dá)到最大值L_M，根據(jù)能量守恒得
-k$\frac{Qq}{{L}_{M}}$=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$-k$\frac{Qq}{{L}_{0}}$
解得 L_M=$\frac{2kQq{L}_{0}}{2kQq-M{v}_{0}^{2}{L}_{0}}$
（2）為了計算變力f做的功，應(yīng)回到初始時B球相對它靜止的參考系S來考查這個問題．
相對于S系，當(dāng)兩球間的距離為L₀時，A球的速度為v₀，B球的速度為0，當(dāng)兩球的速度相等時，兩球間距離達(dá)到最大值L_M，由功能關(guān)系得：
在這個過程中，變力f做的功  W=[$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$-k$\frac{Qq}{{L}_{M}}$]-[$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-k$\frac{Qq}{{L}_{0}}$]
將L_M=$\frac{2kQq{L}_{0}}{2kQq-M{v}_{0}^{2}{L}_{0}}$代入得：W=Mv₀²．
答：
（1）最大距離L_M是$\frac{2kQq{L}_{0}}{2kQq-M{v}_{0}^{2}{L}_{0}}$．
（2）從開始到兩球間距離達(dá)到最大的過程中球A對球B所做的功為Mv₀²．

點評 解決本題的關(guān)鍵有二：一要靈活選取參考系，二要正確分析兩球間距離最大的條件：速度相等，再運(yùn)用功能關(guān)系研究．