Question

（2012?長寧區(qū)二模）水平地面上有一個半徑為R的圓形軌道，豎直平面上邊中點(diǎn)P離地面高為h，P正下方一點(diǎn)P′位于COA連線上且與軌道圓心O的距離為L（L＞R），如圖所示．現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出質(zhì)量為m的小沙袋，使其擊中軌道上的小車（沙袋與小車均視為質(zhì)點(diǎn)，空氣阻力不計）．求：
（1）小車停在軌道B點(diǎn)時（∠AOB=90°），沙袋拋出后經(jīng)多長時間擊中小車？擊中時動能多大？
（2）若小車勻速圓周運(yùn)動順時針經(jīng)A點(diǎn)時沙袋拋出，為使沙袋能在B處擊中小車，小車的速率v應(yīng)滿足的條件．
（3）若在P、C之間以水平射程為（L+R）的平拋運(yùn)動軌跡制成一光滑軌道，小沙袋從頂點(diǎn)P由靜止下滑擊中C點(diǎn)小車時水平速度多大？

Answer 1

分析：（1）沙袋從P點(diǎn)開始做的都是平拋運(yùn)動，根據(jù)在豎直方向上的自由落體運(yùn)動，可以求得運(yùn)動的時間，根據(jù)動能定理可以求得擊中時的動能；
（2）根據(jù)等時性可以求得小車運(yùn)動的時間，但是要注意周期性，再根據(jù)圓周運(yùn)動的速度公式即可求解；
（3）下滑過程沙袋的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動，設(shè)它的落地時間為t，則
h=

1

2

gt2
解得：t=

2h g

拋到B點(diǎn)發(fā)生的水平位移為S=

L2+R2

，
所以h=

1

2

g

L2+R2

v02

  
由動能定理得mgh=E_kB-

1

2

mv₀²，
從中解得E_kB=mgh+

mg(L2+R2)

4h

（2）根據(jù)時間相等的條件t=

T

4

+nT=

2h g

小車速度v_車=

2πR

T

求得v_車=

1+4n

2

πR

g 2h

  （n=0，1，2，…）  
（3）下滑過程沙袋的機(jī)械能守恒，mgh=

1

2

mv_c²，
解得 v_c=

2h g

   
設(shè)v_C與水平方向夾角為θ，沙袋的水平速度v_cx=v_ccosθ
由平拋運(yùn)動規(guī)律得tanθ=

vy

vx

=

2y

x

，即cosθ=

x

4y2+x2

所以v_c=（L+R）

2gh 4h2+(L+R)2

答：（1）小車停在軌道B點(diǎn)時（∠AOB=90°），沙袋拋出后經(jīng)

2h g

擊中小車，擊中時動能為mgh+

mg(L2+R2)

4h

；
（2）若小車勻速圓周運(yùn)動順時針經(jīng)A點(diǎn)時沙袋拋出，為使沙袋能在B處擊中小車，小車的速率v應(yīng)滿足v_車=

1+4n

2

πR

g 2h

  （n=0，1，2，…）；
（3）若在P、C之間以水平射程為（L+R）的平拋運(yùn)動軌跡制成一光滑軌道，小沙袋從頂點(diǎn)P由靜止下滑擊中C點(diǎn)小車時水平速度為L+R）

2gh 4h2+(L+R)2

．

點(diǎn)評：本題是對平拋運(yùn)動規(guī)律的考查，在分析第二問的時候，要考慮到小車運(yùn)動的周期性，小車并一定是經(jīng)過

1

4

圓周，也可以是經(jīng)過了多個圓周之后再經(jīng)過

1

4

圓周后恰好到達(dá)B點(diǎn)，這是同學(xué)在解題時經(jīng)常忽略而出錯的地方．