Question

如圖甲所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為l，左側(cè)接一阻值為R的電阻。在MN與PQ之間存在垂直軌道平面的有界勻強(qiáng)磁場，磁場寬度為d。一質(zhì)量為m的金屬棒ab置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，不計導(dǎo)軌和金屬棒的電阻。金屬棒ab受水平力F=（N）的作用，其中x為金屬棒距MN的距離，F與x的關(guān)系如圖乙所示。金屬棒ab從磁場的左邊界由靜止開始運(yùn)動，通過電壓傳感器測得電阻R兩端電壓隨時間均勻增大。已知l＝1m，m＝1kg，R＝0.5W，d＝1m。問：

（1）金屬棒剛開始運(yùn)動時的加速度為多少？并判斷該金屬棒在磁場中做何種運(yùn)動。

（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為多少？

（3）若某時刻撤去外力F后棒的速度v隨位移s的變化規(guī)律滿足（v₀為撤去外力時的速度，s為撤去外力F后的位移），且棒運(yùn)動到PQ處時恰好靜止，則外力F作用的時間為多少？

（4）在（3）的情況下，金屬棒從MN運(yùn)動到PQ的整個過程中左側(cè)電阻R產(chǎn)生的熱量約為多少？

Answer 1

解：（1）金屬棒剛開始運(yùn)動時x=0，且v=0，不受安培力作用，所以此時所受合外力為

F==0.4N，

由牛頓第二定可得       a= m/s²=0.4 m/s²                            （2分）

依題意，電阻R兩端電壓隨時間均勻增大，即金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的電動勢隨時間均勻增大，根據(jù)ε=Blv，可知金屬棒的速度隨時間均勻增大，所以金屬棒做初速度為零的勻加速運(yùn)動。（不需要說明理由，只要得出結(jié)論即給分）       （1分）

（2）金屬棒做初速度為零，加速度為a=0.4m/s²的勻變速運(yùn)動，則

，                                                 ①                                （1分）

由牛頓第二定可知：，          ②                                （1分）

又    F＝，      

代入得：

所以                                 ③                                （1分）

解得：     ④                                （1分）

【得出①、②式后，也可根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)點(diǎn)求解：

從圖乙可知，當(dāng)x=0.8m時，F=0.8N，代入②式有

                     ③                                （1分）

解得：    B=0.5T                                             ④                                （1分） 】

（3）設(shè)外力F作用的時間為t，則力F作用時金屬棒運(yùn)動距離：，

撤去外力后金屬棒，

到PQ恰好靜止，所以v=0，v₀=at，

得撤去外力后金屬棒運(yùn)動距離：；

因此                                                                 （2分）

代入相關(guān)數(shù)值，得0.2t²+0.8t-1＝0，解得t＝1s                                          （2分）

（4）力F作用時金屬棒運(yùn)動距離：              （1分）

由F-x圖可知圖線與橫、縱坐標(biāo)軸所圍面積代表在此過程中外力F做的功W_F，通過數(shù)格子可知W_F約為0.11J（0.1J---0.11J）。                                     （1分）

金屬棒從MN開始運(yùn)動到PQ邊靜止，由動能定理得：W_F+W_安 = 0

所以電阻R產(chǎn)生的熱量       Q_R=-W_安=W_F=0.11J                                   （1分）