Question

5．如圖甲所示，定滑輪上繞一細線，線的一端系一質(zhì)量為M的重物，另一端系一質(zhì)量為m的金屬棒ab．金屬棒ab放在兩根間距為L的足夠長的光滑平行的金屬導軌上，導軌處在水平面內(nèi)，在兩導軌左端之間連接有阻值為R的電阻，導軌和金屬棒的電阻不計，導軌和金屬棒放置在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場的方向豎直向上．開始時金屬桿置于靠近導軌左端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降，運動過程中金屬桿始終與兩導軌垂直且接觸良好．已知重力加速度為g．

（1）求重物勻速下降時的速度大小；
（2）當M勻速運動時，突然剪斷細線，金屬棒繼續(xù)沿導軌向右運動，當滑行了一段距離s后停止，求此過程中通過導體棒橫截面上的電量；
（3）對一定的磁感應(yīng)強度B，重物取不同的質(zhì)量M，測出相應(yīng)的重物做勻速下降運動時的v值，得到實驗圖線如圖乙所示，圖中畫出了磁感應(yīng)強度分別為B₁和B₂時的兩條實驗圖線．試根據(jù)實驗結(jié)果計算比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）重物勻速下降時，受重力和拉力而平衡，而桿受拉力、重力、支持力和安培力而平衡；根據(jù)切割公式、歐姆定律和安培力公式列式得到速度大��；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解平均感應(yīng)電動勢，根據(jù)歐姆定律求解平均感應(yīng)電流，再根據(jù)電流的定義求解電荷量；
（3）根據(jù)第（1）問求得結(jié)果得到v-M圖象的斜率的表達式進行分析即可．

解答 解：（1）設(shè)當重物M勻速下降時的速度為v，則產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv，
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$，
金屬桿受到的安培力F_安=BIL，
對于金屬桿受力平衡，有：F=F_安，
對于重物M，有：F′=Mg，
而F=F′，
聯(lián)立解得：v=$\frac{MgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）設(shè)通過金屬桿的電量為q，則有：
q=$\overline{I}$t，
$\overline{I}$=$\frac{BL\overline{v}}{R}$，
s=$\overline{v}$t，
聯(lián)立解得：q=$\frac{BLs}{R}$；
（3）根據(jù)第（1）問求得結(jié)果可知，v-M圖象的斜率為k=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
由圖乙可得k₁=$\frac{8}{5}m/s•kg$，
k₂=$\frac{9}{10}m/s•kg$，
$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\sqrt{\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{3}{4}$；
答：（1）重物勻速下降時的速度大小為$\frac{MgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）當M勻速運動時，突然剪斷細線，金屬棒繼續(xù)沿導軌向右運動，當滑行了一段距離s后停止，此過程中通過導體棒橫截面上的電量為$\frac{BLs}{R}$；
（3）比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$為$\frac{3}{4}$．

點評 本題中運用F=BIL、I=$\frac{E}{R}$、E=BLv推導安培力的表達式是求解的關(guān)鍵步驟，再運用數(shù)學知識分析圖象的斜率，得到B₁和B₂的比值．