Question

20．如圖所示，一個(gè)半徑為R₀的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，一個(gè)粒子源在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以相同速率發(fā)射大量帶正電粒子，粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，將粒子源置于圓心O，則所有粒子剛好都不離開磁場，不考慮粒子之間的相互作用及粒子的重力．
（1）求帶電粒子的速率；
（2）若粒子源可置于磁場中任意位置，且磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?\frac{B}{4}$，求粒子在磁場中最長的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由題意，粒子源置于圓心O，則所有粒子剛好都不離開磁場，得出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，然后結(jié)合洛倫茲力通過向心力即可求出粒子的速率；
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?\frac{B}{4}$后，由半徑公式可知粒子的半徑變大，所以粒子軌跡的弦最長時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，結(jié)合幾何關(guān)系即可得出偏轉(zhuǎn)的角度，然后結(jié)合周期公式即可解答．

解答 解：（1）粒子源置于圓心O，則所有粒子剛好都不離開磁場，粒子離開出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為軌道半徑的2倍，R₀=2r  
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
解得：$v=\frac{qB{R}_{0}}{2m}$． 
（2）設(shè)磁場的大小變?yōu)?\frac{B}{4}$后，粒子的軌道半徑為r₁：$qv•\frac{B}{4}=\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$ 
r₁=2R₀．
根據(jù)幾何關(guān)系可以得到，當(dāng)弦最長時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長．畫出粒子運(yùn)動(dòng)的某一條軌跡如圖，
可知，弦為2R₀時(shí)最長，圓心角60°．
$t=\frac{60°}{360°}•T$
而：$T=\frac{2πm}{q•\frac{B}{4}}=\frac{8πm}{qB}$
解得：$t=\frac{4πm}{3qB}$．
答：（1）帶電粒子的速率是$\frac{qB{R}_{0}}{2m}$；
（2）若粒子源可置于磁場中任意位置，且磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小變?yōu)?\frac{B}{4}$，粒子在磁場中最長的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$\frac{4πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是畫出粒子圓周的軌跡，往往用數(shù)學(xué)知識(shí)求半徑．