Question

8．如圖所示，空間存在寬度為d的水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，P、Q為磁場(chǎng)的上下水平邊界，efgh為用粗細(xì)均勻的同種金屬材料繞制的正方形單匝線框，線框的質(zhì)量為m，電阻為R，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，且L＜d．現(xiàn)將線框從圖示位置距離磁場(chǎng)上邊界為d的高度處由靜止開始釋放，當(dāng)線框的gh邊剛出磁場(chǎng)時(shí)，線框恰做勻速運(yùn)動(dòng)，已知線框運(yùn)動(dòng)過程中g(shù)h邊始終保持水平且不轉(zhuǎn)動(dòng)．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）線框的gh邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)gh兩點(diǎn)間的電壓U；
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中通過線框?qū)Ь�截面的電量q；
（3）線框穿越磁場(chǎng)的全過程中產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

分析 （1）先由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出線框gh邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，由E=BLv求線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再求解gh兩點(diǎn)間的電壓U．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式求解．
（3）根據(jù)平衡條件求出線框剛出磁場(chǎng)時(shí)的速度，再由能量守恒定律求電熱Q．

解答 解：（1）線框的gh邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度 v=$\sqrt{2gd}$
gh邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv
gh兩點(diǎn)間的電壓 U=$\frac{3}{4}$E=$\frac{3}{4}$BL$\sqrt{2gd}$
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中通過線框?qū)Ь�截面的電量 q=$\overline{I}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$=$\frac{B{L}^{2}}{R}$
（3）設(shè)線框的gh邊剛出磁場(chǎng)的速度為v′．
由于線框勻速運(yùn)動(dòng)，則由平衡條件有 mg=BIL
又 I=$\frac{BLv′}{R}$
可得 v′=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
對(duì)兩個(gè)過程，由能量守恒定律得
   mg•3d=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$+Q
解得 Q=3mgd-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）線框的gh邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)gh兩點(diǎn)間的電壓U是$\frac{3}{4}$BL$\sqrt{2gd}$；
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中通過線框?qū)Ь�截面的電量q是$\frac{B{L}^{2}}{R}$；
（3）線框穿越磁場(chǎng)的全過程中產(chǎn)生的電熱Q是3mgd-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)相結(jié)合的題目，分析清楚線框運(yùn)動(dòng)過程，靈活推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系、電量與磁通量變化的關(guān)系是關(guān)鍵．