Question

14．太空望遠(yuǎn)鏡可以搜尋遙遠(yuǎn)星系中的“宜居”類地外行星，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)某顆“宜居”外行星（可看成均勻球體）的自轉(zhuǎn)周期為T，赤道半徑為R，進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)該行星的同步衛(wèi)星軌道距其表面高度為2R，已知萬(wàn)有引力常量為G，以下說法中正確的是（　�。�

• A． 該行星質(zhì)量為M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 該行星質(zhì)量為M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 該行星第一宇宙速度大小為$\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$
• D． 該行星第一宇宙速度大小為$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$

Answer 1

分析 根據(jù)同步衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力提供向心力可求出行星的質(zhì)量，求出行星的近地衛(wèi)星的線速度即該行星的第一宇宙速度；

解答 解：AB、根據(jù)題意，該行星的同步衛(wèi)星的周期即等于自轉(zhuǎn)周期T，軌道半徑為：r=R+h=R+2R=3R
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（3R）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{108{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故AB錯(cuò)誤；
CD、該行星的第一宇宙速度即近地衛(wèi)星的線速度，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{G•\frac{108{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{R}}$=$\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．