Question

13．在一項(xiàng)體育游戲娛樂節(jié)目中，選手從起始點(diǎn)出發(fā)，中間經(jīng)過(guò)一系列具有一定挑戰(zhàn)性的關(guān)卡，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)終點(diǎn)，即為成功．通過(guò)每一道關(guān)卡，都需要選手具備比較好的身體素質(zhì)、身體柔韌性和平衡能力，并且要掌握一定的運(yùn)動(dòng)技巧．其中一道關(guān)卡，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽(yáng)觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡(jiǎn)化為質(zhì)量為m=60kg的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向的夾角θ=53⁰，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m，繩長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m．不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度v的大��；
（2）若選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)松手落入水中．設(shè)水對(duì)選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d是多少？
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長(zhǎng)，選手在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽(yáng)卻認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．請(qǐng)你通過(guò)推算說(shuō)明你的觀點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）選手在擺動(dòng)過(guò)程中，繩子拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能是守恒的，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度v．
（2）選手?jǐn)[到右邊最高點(diǎn)時(shí)松手后，對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解選手落入水中的深度d．
（3）選手在最低點(diǎn)松手后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出水平距離，根據(jù)水平距離的表達(dá)式進(jìn)行分析．

解答 解：（1）選手由靜止擺到最低點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
   $mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度 v=4 m/s
（2）選手從最高點(diǎn)落至水中深為d處的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
   mg（H-Lcosθ+d）-f₁d-f₂d=0
或一：選手從最高點(diǎn)落至水面的過(guò)程中：v²=2g（H-Lcosθ）
選手從水面落至水中深為d處的過(guò)程中：f₁+f₂-mg=ma
    0-v²=-2 a d
或二：選手從最高點(diǎn)落至水面的過(guò)程中：H-Lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   v=gt
選手從水面落至水中深為d處的過(guò)程中：f₁+f₂-mg=ma
   0=v-a t′
   $d=\frac{1}{2}a{t'^2}$
  0-v²=-2 a d
解得：d=1.2 m
（3）選手由靜止擺到最低點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v^2}$
選手從最低點(diǎn)落至浮臺(tái)的過(guò)程中：
水平方向：x=vt
豎直方向：$H-L=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：${x^2}=1.6[{\frac{9}{4}-{{（L-\frac{3}{2}）}^2}}]$
因此并不是繩越長(zhǎng)或越短，選手在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，與繩長(zhǎng)的范圍有關(guān)，當(dāng)L=1.5m時(shí)，落點(diǎn)距離岸邊最遠(yuǎn)．
答：
（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度v的大小是4m/s；
（2）選手落入水中的深度d是1.2m；
（3）不是繩越長(zhǎng)或越短，選手在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，與繩長(zhǎng)的范圍有關(guān)，當(dāng)L=1.5m時(shí)，落點(diǎn)距離岸邊最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題是實(shí)際問(wèn)題，解題過(guò)程中是注意對(duì)選手進(jìn)行受力分析的，不要忘記阻力．對(duì)于極值問(wèn)題，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．