Question

12．如圖所示，在水平向右的勻強電場中固定有一絕緣軌道，此軌道由水平軌道和與水平軌道相切與B點的豎直半圓軌道組成．水平軌道上A點與B點間的距離為L，半徑OC與豎直半徑OB的夾角為37°現(xiàn)一質量為m、電荷量為q的帶正電小球（可視為質點）由A點無初速度釋放，運動到B點后沿半圓軌道內側運動并恰好能從D點飛出．已知電場強度大小E=$\frac{2mg}{3q}$，其中g為重力加速度，A點的電勢為零，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計一切摩擦．求：
（1）最高點D的電勢φ_D以及小球到達B點時的速度大小v_B；
（2）小球通過C點時軌道受到的壓力．（提示：小球在圓周運動過程中任一點，向心力公式都成立）

Answer 1

分析 （1）由U=EL求出AB間的電勢差，得到AD間的電勢差，即可求得最高點D的電勢．由動能定理求B點的速度．
（2）由動能定理求出小球通過C點的速度，再由牛頓第二定律和向心力公式求解軌道對小球的支持力，從而得到壓力．

解答 解：（1）AB間的電勢差為 U_AB=EL
B、D兩點的電勢差相等，則AD間的電勢差為 U_AD=U_AB=EL
A點的電勢為零，則D的電勢 φ_D=-U_AD=-EL
小球從A到B，由動能定理得
  qEL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又E=$\frac{2mg}{3q}$
解得 v_B=$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$
（2）從A到D的過程，由動能定理得：
  qEL-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點有 mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 R=$\frac{4}{15}$L
從A到C的過程，由動能定理得：
  qE（L+R）-mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點有 N-mgcos37°-qEsin37°=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=$\frac{56}{15}$mg
即得小球通過C點時軌道受到的壓力為$\frac{56}{15}$mg．
答：
（1）最高點D的電勢φ_D是-EL，小球到達B點時的速度大小v_B是$\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$．
（2）小球通過C點時軌道受到的壓力是$\frac{56}{15}$mg．

點評 本題的關鍵要分析清楚小球的運動過程，把握臨界狀態(tài)的條件：最高點由重力充當向心力．要知道：在C點，由指向圓心的合力提供向心力．