Question

如圖所示，傾斜的金屬導(dǎo)軌和水平的金屬導(dǎo)軌接在一起，各自的兩條平行軌道之間距離都為d，傾斜導(dǎo)軌與水平面間的夾角為30°，在傾斜導(dǎo)軌的區(qū)域有垂直于軌道平面斜向上的勻強(qiáng)磁場，在水平導(dǎo)軌的區(qū)域有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B，傾斜導(dǎo)軌上放有金屬棒a，在緊靠兩導(dǎo)軌連接處的水平導(dǎo)軌上放有金屬棒b，a、b都垂直于各自的軌道，質(zhì)量均為m，a、b與水平的金屬導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)是μ，傾斜的金屬導(dǎo)軌光滑。傾斜軌道間接有電阻R，a、b的電阻值都是R，其余電阻不計(jì)。

開始時(shí)a固定，b靜止，且a距水平導(dǎo)軌平面的高度為h，現(xiàn)釋放a，同時(shí)給a一個(gè)平行于傾斜導(dǎo)軌向下的初速度，a就在傾斜導(dǎo)軌上做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過兩導(dǎo)軌的連接處時(shí)速度大小不變，在此過程中b仍然靜止，滑上水平導(dǎo)軌后即與b金屬棒粘在一起在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)距離L后靜止。求：

(1)在傾斜導(dǎo)軌上勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₀大小。

(2)a在傾斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q₁是多大?

(3)a、b一起在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q₂是多大?

Answer 1

(1)   （2）      (3)－μmgL

解析：(1)設(shè)在傾斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中，感應(yīng)電動(dòng)勢為E，其中的電流強(qiáng)度為I_a，受到的磁場力為F，則

E＝Bdv₀ R_總＝R

I_a＝E/R_總 I_a＝

F＝BI_ad  F＝

由于a在傾斜導(dǎo)軌上做勻速運(yùn)動(dòng)，所以所受的合外力為零，則：

F＝mgsin30°

解得：v₀＝

(2)a在傾斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)a、b和電阻R中的電流強(qiáng)度分別是I_a、I_b和I_R，產(chǎn)生的熱量分別是Q_a、Q_b和Q₁，則

I_a＝2I_R I_b＝I_R

由：Q＝I²Rt得

Q_a＝4Q₁    Q_b＝Q₁

根據(jù)能量守恒有：mgh＝Q_a＋Q_b＋Q₁

Q₁＝mgh

或解：a在傾斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)電阻R中的電流強(qiáng)度是I_R，滑動(dòng)時(shí)間為t，則I_R＝I_a I_R＝

t＝

Q₁＝

解得：Q₁＝mgh

(3)設(shè)a、b粘在一起的共同速度為v，由動(dòng)量守恒定律則有：

mv₀＝2mv

ab在水平軌道上運(yùn)動(dòng)過程，克服摩擦力做功W，則

W＝μ·2mg·L

設(shè)電流流過ab產(chǎn)生的熱量共為Q_ab，則有：

R_ab＝R，Q_ab＝Q₂

根據(jù)能量守恒定律得：

·2mv²=Q₂+Q_ab＋W

解得：Q₂＝μmgL