Question

【題目】如圖所示，光滑平行導軌MN、M′N′固定在水平面內，左端MM′接有一個R=2Ω的定值電阻，右端與均處于豎直面內的半圓形光滑金屬軌道NP、N′P′平滑連接于N、N′點，且半圓軌道的半徑均為r=0.5m，導軌間距L=1m，水平軌道的AMN′A′的矩形區(qū)域內有豎直向下的勻強磁場，磁場區(qū)域的寬度d=1m，一個質量為m=0.2kg，電阻R0=0.5Ω，長也為1m的導體棒ab放置在水平導軌上距磁場左邊界S處，在與棒垂直、大小為2N的水平恒力F的作用下從靜止開始運動，導體棒運動過程中始終與導軌垂直并與導軌接觸良好，導體棒進入磁場后做勻速運動，當導體棒運動至NN′時撤去F，結果導體棒ab恰好能運動到半圓形軌道的最高點PP′，重力加速度g=10m/s2。求：

(1)勻強磁場磁感應強度B的大小及S的大小；

(2)若導體棒運動到AA′吋時撤去拉力，試判斷導體棒能不能運動到半圓軌道上，如果不能說明理由，如果能，試判斷導體棒沿半圓軌道運動時會不會離開軌道；

(3)在(2)問中最終電阻R中產生的焦耳熱。

Answer 1

【答案】(1) , (2)不會離開半圓軌道(3)

【解析】

（1）金屬棒在磁場中勻速運動，則所受的拉力F與安培力平衡；金屬導體棒恰好能運動到半圓軌道的最高點，則重力等于向心力；結合動能定理以及機械能守恒定律列式可求解B和s的大小；

（2）若導體棒運動到AA′時撤去拉力，物塊以v1=5m/s的速度進入磁場，假設物塊能穿過磁場區(qū)域，根據動量定理列式求解穿過磁場的速度即可判斷；導體棒能進入半圓軌道，根據圓周運動恰能經過最高點的臨界條件判斷能否達到最高點；

（3）根據動量定理求解導體棒向左穿過磁場后的速度；根據能量守恒定律求解定值電阻上的焦耳熱。

（1）設金屬棒在磁場中勻速運動的速度為v1，則導體棒產生的電動勢：E=BLv1

回路的電流

根據力的平衡：F=BIL；

設金屬導體棒恰好能運動到半圓軌道的最高點時速度大小為v2，根據牛頓第二定律可知：mg=m

根據機械能守恒定律：

解得B=1T，v1=5m/s

根據動能定理：

解得s=1.25m

（2）若導體棒運動到AA′時撤去拉力，物塊以v1=5m/s的速度進入磁場，假設物塊能穿過磁場區(qū)域，穿過磁場區(qū)域時的速度大小為v3，根據動量定理有：

即

解得v3=3m/s

假設成立，導體棒能運動到半圓軌道上；

設導體棒在半圓軌道上運動時不會離開軌道，設導體棒在半圓軌道上上升的最大高度為h，根據機械能守恒定律：

解得h=0.45m

由于h<r假設成立，即導體棒在半圓軌道上運動時不會離開半圓軌道；

（3）在（2）問中，根據機械能守恒定律可知，導體棒從圓弧軌道上下滑后，以大小為v4=3m/s的速度再次進入磁場，設導體棒向左穿過磁場后的速度v5，根據動量定理：

解得v5=1m/s

整個過程中由能量守恒關系可知，回路中產生的焦耳熱：

則定值電阻R上的熱量為：