Question

19．2014年12月14日，北京飛行控制中心傳來好消息，嫦娥三號探測器平穩(wěn)落月．嫦娥三號接近月球表面過程可簡化為三個(gè)階段：一、距離月球表面一定的高度以v=1.7km/s的速度環(huán)繞運(yùn)行，此時(shí)，打開七千五百牛頓變推力發(fā)動(dòng)機(jī)減速，下降到距月球表面H=100米高處時(shí)懸停，尋找合適落月點(diǎn)；二、找到落月點(diǎn)后繼續(xù)下降，距月球表面h=4m時(shí)速度再次減為0；三、此后，關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，使它做自由落體運(yùn)動(dòng)落到月球表面．已知嫦娥三號著陸時(shí)的質(zhì)量為1200kg，月球表面重力加速度g′為1.6m/s²，月球半徑為R，引力常量G，（計(jì)算保留2位有效數(shù)字）求：
（1）月球的質(zhì)量（用g′、R、G字母表示）
（2）從懸停在100米處到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對嫦娥三號做的功？
（3）從v=1.7km/s到懸停，若用10分鐘時(shí)間，設(shè)軌跡為直線，則減速過程的平均加速度為多大？若減速接近懸停點(diǎn)的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，求此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的平均推力為多大？

Answer 1

分析 （1）嫦娥三號衛(wèi)星在月球表面受到的重力等于萬有引力，由此求出月球質(zhì)量．
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出發(fā)動(dòng)機(jī)對嫦娥三號做的功．
（3）嫦娥三號從v=1.7km/s到懸停，視為勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)加速度定義求加速度，由牛頓第二定律求出發(fā)電機(jī)對平均推力．

解答 解：（1）根據(jù)在星體表面重力等于萬有引力知  mg′=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可得 M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$           
（2）由100m下降過程中到4m前發(fā)動(dòng)機(jī)會(huì)做功，取100m和4m為初末狀態(tài)，前后動(dòng)能沒變，由動(dòng)能定理得：
  mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵ J   
即發(fā)動(dòng)機(jī)做功為-1.8×10⁵ J
（3）減速過程的平均加速度 a=$\frac{0-v}{t}$=$\frac{1.7×1{0}^{3}}{6000}$=-2.8 m/s²                              
由牛頓第二定律知
  mg′-F=ma
可得 F=m（g′-a）=5300 N
答：
（1）月球的質(zhì)量為$\frac{g′{R}^{2}}{G}$．
（2）從懸停在100米處到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對嫦娥三號做的功是-1.8×10⁵ J．
（3）減速過程的平均加速度為-2.8 m/s²．此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的平均推力為5300N．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要掌握重力等于萬有引力，可求天體的質(zhì)量．分析清楚探測器的運(yùn)動(dòng)過程，由動(dòng)力學(xué)基本規(guī)律處理．