Question

16．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)，內(nèi)壁光滑的直管　與水平地面成30°角固定放置，將一質(zhì)量為m的小球固定在管底，用一輕質(zhì)光滑細(xì)線將小球與質(zhì)量為M=km（k＞2）的小物塊相連，小物塊懸掛于管口，現(xiàn)將小球釋放，一段時(shí)間后，小物塊落地靜止不動(dòng)，小球繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，通過(guò)管口的轉(zhuǎn)向裝置后做平拋運(yùn)動(dòng)，小球的轉(zhuǎn)向過(guò)程中速率不變．（重力加速度為g）
（1）求小物塊下落過(guò)程中的加速度大��；
（2）求小球從管口拋出時(shí)的速度大�。�
（3）試證明小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移總小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$L．

Answer 1

分析 （1）開(kāi)始時(shí)小球沿斜面向上做勻加速，小物塊向下也做勻加速，兩者的加速度大小相等．對(duì)各自受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律列出等式，解出方程即可；
（2）小物塊落地靜止不動(dòng)，小球繼續(xù)向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)其受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律解出此時(shí)的加速度（與前一階段加速度不等），結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球從管口拋出時(shí)的速度大�。�
（3）運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律表示出小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，利用數(shù)學(xué)知識(shí)證明問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)細(xì)線中的張力為T(mén)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
Mg-T=Ma
T-mgsin30°=ma
且M=km
解得：$a=\frac{2k-1}{2（k+1）}g$
（2）設(shè)M落地時(shí)的速度大小為v，m射出管口時(shí)速度大小為v₀，M落地后m的加速度為a₀．
根據(jù)牛頓第二定律，有：
-mgsin30°=ma₀
勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有：
v²=2aLsin30°
勻減速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有：
${{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}=2{a}_{0}L（1-sin3{0°}^{\;}）$
解得：
${v_0}=\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$（k＞2）
（3）平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程：
x=v₀t
$Lsin3{0°}^{\;}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$x=L\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$
因?yàn)?\frac{k-2}{k+1}＜1$，所以$x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$，得證．  
答：（1）小物塊下落過(guò)程中的加速度大小為$\frac{2k-1}{2（k+1）}g$；
（2）小球從管口拋出時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}gL}$（k＞2）；
（3）小球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移總小于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$，證明如上．

點(diǎn)評(píng) 本題本題考查牛頓第二定律，勻加速運(yùn)動(dòng)的公式及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律；要注意第（2）問(wèn)中要分M落地前和落地后兩段計(jì)算，因?yàn)閮啥蔚膍加速度不相等；第（3）問(wèn)中，因?yàn)?\frac{k-2}{k+1}＜1$，所以x=L$\sqrt{\frac{k-2}{2（k+1）}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}L$．