Question

某種加速器的理想模型如題15-1圖所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖15-2圖所示，電壓的最大值為U₀、周期為T₀，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若將一質(zhì)量為m₀、電荷量為q的帶正電的粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間T₀后恰能再次從a 孔進(jìn)入電場(chǎng)加速。現(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了。(粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，兩極板外無電場(chǎng)，不考慮粒子所受的重力)

(1)若在t=0時(shí)刻將該粒子從板內(nèi)a孔處靜止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能；

(2)現(xiàn)在利用一根長為L的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁場(chǎng)中時(shí)管內(nèi)無磁場(chǎng)，忽略其對(duì)管外磁場(chǎng)的影響)，使題15-1圖中實(shí)線軌跡(圓心為O)上運(yùn)動(dòng)的粒子從a孔正下方相距L處的c孔水平射出，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖上的相應(yīng)位置處畫出磁屏蔽管；

(3)若將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi)a孔處靜止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能？最大動(dòng)能是多少？

Answer 1

【答案】（1）質(zhì)量為的粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

則

當(dāng)粒子的質(zhì)量增加了，其周期增加

根據(jù)題15-2圖可知，粒子第一次的加速電壓

粒子第二次的加速電壓

粒子射出時(shí)的動(dòng)能

解得

(2)磁屏蔽管的位置如下圖所示

（3）在時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)

，得

分析可得，粒子在連續(xù)被加速的次數(shù)最多，且時(shí)也被加速的情況時(shí)，最終獲得的動(dòng)能最大。

粒子由靜止開始被加速的時(shí)刻 (n=0,1,2,……)

最大動(dòng)能

解得 .

【解析】第（1）問中求第2次加速電壓u₂，如下圖

在三角形中，，所以

第（2）問中為什么磁屏蔽管放在如答案圖位置。因?yàn)榇牌帘喂苁沽Ｗ觿蛩龠\(yùn)動(dòng)至以下L處，出管后仍然做圓周運(yùn)動(dòng)，可到C點(diǎn)水平射出。如下圖。

第（3）問中，由靜止開始加速的時(shí)刻可以倒推。

設(shè)某時(shí)刻，時(shí)被加速，此時(shí)刻可表示為，靜止開始加速的時(shí)刻為，其中n=12，將n=12代入得，因?yàn)?sub>，所以只能取N=25，解得，由于電壓的周期為,所以（n=0,1,2,3…）

求電壓，如下圖（用Excel作圖）設(shè)T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時(shí)間變化的圖象，從圖象可以看出，時(shí)間每改變(圖象中為1)，電壓改變?yōu)?sub>(圖象中為4)，所以圖象中電壓分別為50,46,42,38，………10，6，2，共13個(gè)，加上另一面的12個(gè)，共25個(gè)，題中表示電壓分別,，……，，，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可求出加速電壓做的總功，即動(dòng)能的最大值。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)和在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)以及用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力。關(guān)鍵是判斷怎樣才能得到最大動(dòng)能。難度：難。難在讀題難懂。