Question

如圖所示（俯視圖），相距為2L的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌一部分處在以O(shè)O′為右邊界的勻強(qiáng)磁場中，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)大小為B，方向垂直導(dǎo)軌平面向下，導(dǎo)軌右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計．在距邊界OO′為L處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻不計的金屬桿ab．求解以下問題：
（1）若金屬桿ab固定在導(dǎo)軌上的初始位置．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度在時間t內(nèi)由B均勻減小到零．求此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_l．
（2）若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，金屬桿ab在恒力作用下由靜止開始向右運(yùn)動3L距離，其V--X的關(guān)系圖象如圖乙所示．求：
①金屬桿ab剛要離開磁場時的加速度大��；
②此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q₂．

Answer 1

（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度在時間t內(nèi)由B均勻減小到零，說明

△B

△t

=

B

t

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得出此過程中的感應(yīng)電動勢為：
E₁=

△Φ

△t

=

2BL2

t

  ①
通過R的電流為I₁=

E1

R

  ②
此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q₁=I₁²Rt  ③
聯(lián)立求得Q₁=

4B2L4

Rt

（2）①ab桿離起始位置的位移從L到3L的過程中，由動能定理可得：
F（3L-L）=

1

2

m（v₂²-v₁²）  ④
ab桿剛要離開磁場時，感應(yīng)電動勢     E₂=2BLv₁  ⑤
通過R的電流為I₂=

E2

R

⑥
ab桿水平方向上受安培力F_安和恒力F作用，安培力為：
F_安=2BI₂L  ⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦F_安=

4B2L2v1

R

  ⑧
由牛頓第二定律可得：F-F_安=ma ⑨
聯(lián)立④⑧⑨解得a=

v22-v12

4L

-

4B2L2v1

mR

②ab桿在磁場中由起始位置到發(fā)生位移L的過程中，由動能定理可得：
FL+W_安=

1

2

mv₁²-0
W_安=

1

2

mv₁²-FL  ⑩
根據(jù)功能關(guān)系知道克服安培力做功等于電路中產(chǎn)生的焦耳熱，
所以聯(lián)立④⑩解得     Q₂=-W_安=

m(v22-3v12)

4

答：（1）若金屬桿ab固定在導(dǎo)軌上的初始位置．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度在時間t內(nèi)由B均勻減小到零．此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為

4B2L4

Rt

．
（2）①金屬桿ab剛要離開磁場時的加速度大小是

v22-v12

4L

-

4B2L2v1

mR

；
②此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為

m(v22-3v12)

4

．