Question

17．如圖所示，在坐標系第二象限內(nèi)有一圓形勻強磁場區(qū)域（圖中未畫出），磁場方向垂直xoy平面，在第一象限內(nèi)有場強大小為沿-軸正方向的勻強電場．在x軸上有坐標（-2l₀，0）的P點，三個電子a、b、c以相同速率沿不同方向從P點同時射入磁場區(qū)域，其中電子b射入方向為y軸正方向，a．c在P點速度與b速度方向夾角都是0=號．電子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后都垂直于y軸進人第一象限，電子b通過坐標為（0，l₀）的Q點進人第一象限，電子a、C進人第一象限的時間差是t₀．已知三個電子離開電場后都經(jīng)過某一點K（圖中未畫出）．電子質(zhì)量為m、電荷量為e，不計重力．
（1）判斷磁場方向的指向，求電子在磁場中運動軌道半徑R； 
（2）電子在電場中運動離y軸的最遠距離d；
（3）求K點的坐標和三個電子到達K點的時間差．

Answer 1

分析 （1）連接兩個圓心、入射點和出射點構(gòu)成的平行四邊形，得到當(dāng)圓形磁場區(qū)域半徑等于粒子做圓周運動的半徑時，從磁場邊緣的一點向各個方向射出的粒子，偏轉(zhuǎn)后平行射出，由幾何關(guān)系得到軌道半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）電子進入電場后做勻減速直線運動，根據(jù)動能定理列式求解；
（3）連接兩個圓心、入射點和出射點構(gòu)成的平行四邊形，得到當(dāng)圓形磁場區(qū)域半徑等于粒子做圓周運動的半徑時，寬度與磁場直徑相等的粒子束經(jīng)過磁場后匯聚一點，然后作出三個粒子束的軌跡圖后進行分析．

解答 解：（1）勻強磁場方向垂直xOy平面向里．
由圖可知，R=l₀①
（2）設(shè)電子在勻強磁場中運動的周期為T，a、c離開磁場后到達y軸時間是相等的，在磁場區(qū)中a轉(zhuǎn)過30°圓心角，時間t_a=$\frac{T}{12}$②
c轉(zhuǎn)過150°圓心角，時間t_c=$\frac{5T}{12}$③
t₀=t_b-t_a④
$T=\frac{2πm}{e{B}_{0}}$   ⑤
電子在磁場中運動，有ev₀B₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$⑥
電子在電場中運動，有-eEd=0-$\frac{1}{2}$mv₀²⑦
聯(lián)立以上方程解得d=$\frac{2{π}^{2}m{{l}_{0}}^{2}}{9eE{{t}_{0}}^{2}}$    ⑧
（3）電子離開電場再次返回磁場軌跡如圖，K點的坐標為（-2l₀，2l₀）．
b先到達，由運動的對稱性可知，a、c同時到達，與b比較磁場中運動時間都是半個周期，電場中運動時間也都相等，所以時間差為磁場區(qū)域外與y軸之間運動的時間，a、c在該區(qū)域運動的距離，由幾何關(guān)系求得都為$\frac{3{l}_{0}}{2}$，設(shè)a、b電子到達K點的時間差為△t，則
$△t=2（\frac{3{l}_{0}}{2{v}_{0}}-\frac{{l}_{0}}{{v}_{0}}）$⑨
解得△t=$\frac{3{t}_{0}}{2π}$   ⑩
答：（1）勻強磁場方向垂直xOy平面向里．粒子在磁場中的軌道半徑為l₀；
（2）電子在電場中運動離y軸的最遠距離為$\frac{2{π}^{2}m{{l}_{0}}^{2}}{9eE{{t}_{0}}^{2}}$；
（3）K點的坐標為（-2l₀，2l₀），三個電子到達K點的時間差為$\frac{3{t}_{0}}{2π}$．

點評 本題關(guān)鍵是畫出粒子的運動軌跡圖進行動態(tài)分析，然后結(jié)合幾何關(guān)系并運用洛倫茲力提供向心力列式求解．