Question

3．如圖所示，一天體m繞另一天體M勻速圓周運動（M：中心天體，m：環(huán)繞天體）．已知環(huán)繞周期為T，軌道半徑為r，
（1）試求中心天體的質量M．
（2）若已知中心天體的半徑為R，求中心天體的密度．（球體積V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$）

Answer 1

分析 （1）天體m繞中心天體M勻速圓周運動，由M的萬有引力充當m的向心力，列式可求得中心天體的質量M．
（2）根據(jù)質量與體積之比，求解中心天體的密度．

解答 解：（1）天體m繞中心天體M勻速圓周運動，由萬有引力等于向心力得：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
可得 M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）中心天體的密度 ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：
（1）中心天體的質量M為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）中心天體的密度為$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

點評 天體的運動中一定要注意萬有引力的應用，靈活選擇向心力公式建立方程求解；要注意知道旋轉天體的軌道半徑和周期，只能求出中心天體的質量．