Question

（2007?四川）目前，滑板運(yùn)動受到青少年的追捧．如圖是某滑板運(yùn)動員在一次表演時(shí)的一部分賽道在豎直平面內(nèi)的示意圖，賽道光滑，F(xiàn)GI為圓弧賽道，半徑R=6.5m，G為最低點(diǎn)并與水平賽道BC位于同一水平面，KA、DE平臺的高度都為h=18m．B、C、F處平滑連接．滑板a和b的質(zhì)量均為m，m=5kg，運(yùn)動員質(zhì)量為M，M=45kg．表演開始，運(yùn)動員站在滑板b上，先讓滑板a從A點(diǎn)靜止下滑，t₁=0.1s后再與b板一起從A點(diǎn)靜止下滑．滑上BC賽道后，運(yùn)動員從b板跳到同方向運(yùn)動的a板上，在空中運(yùn)動的時(shí)間t₂=0.6s．（水平方向是勻速運(yùn)動）．運(yùn)動員與a板一起沿CD賽道上滑后沖出賽道，落在EF賽道的P點(diǎn)，沿賽道滑行，經(jīng)過G點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動員受到的支持力N=742.5N．（滑板和運(yùn)動員的所有運(yùn)動都在同一豎直平面內(nèi)，計(jì)算時(shí)滑板和運(yùn)動員都看作質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²）

（1）滑到G點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動員的速度是多大？
（2）運(yùn)動員跳上滑板a后，在BC賽道上與滑板a共同運(yùn)動的速度是多大？
（3）從表演開始到運(yùn)動員滑至I的過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能改變了多少？

Answer 1

分析：（1）已知G時(shí)運(yùn)動員受到的支持力，而G點(diǎn)時(shí)運(yùn)動員做圓周運(yùn)動，則由牛頓第二定律及向心力公式可求得運(yùn)動員的速度；
（2）AB過程中由機(jī)械能守恒可求得人和滑板a的速度，則由勻速運(yùn)動位移公式可得出滑板a與人離開滑板b時(shí)的速度關(guān)系，由動量守恒可求得運(yùn)動員和滑板a的共同速度；
（3）由動量守恒可求得運(yùn)動員離開滑板b時(shí)的速度，則可判斷運(yùn)動員是否能再越過最高點(diǎn)，則可求得前后機(jī)械能的變化．

解答：解：（1）在G點(diǎn)，運(yùn)動員和滑板一起做圓周運(yùn)動，設(shè)向心加速度為a_n，速度為v_G，運(yùn)動員受到重力Mg、滑板對運(yùn)動員的支持力N的作用，則：N-Mg=Ma_n
加速度an=

v 2 G

R

則由牛頓第二定律可得：N-Mg=

M v 2 G

R

解得G點(diǎn)時(shí)的速度vG=

R(N-Mg) M

解得：v_G=6.5m/s
G點(diǎn)時(shí)運(yùn)動員的速度為6.5m/s；
（2）設(shè)滑板由A點(diǎn)靜止下滑到BC賽道后速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有：mgh=

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

2gh1

運(yùn)動員與滑板一起由A點(diǎn)靜止下滑到BC賽道后，速度也為v₁，運(yùn)動員由滑板b跳到滑板a，設(shè)蹬離滑板b時(shí)的水平速度為v₂，在空中飛行的水平位移為s，則：
s=v₂t₂
設(shè)起跳時(shí)滑板a與滑板b的水平距離為s₀，則：
s₀=v_lt_l
設(shè)滑板在t₂時(shí)間內(nèi)的位移為s₁，則：
s₁=v₁t₂
s=s₀+s₁
即：v₂t₂=v₁（t₁+t₂）
運(yùn)動員落到滑板a后，與滑板a共同運(yùn)動的速度為v，由動量守恒定律有
mv_l+Mv₂=（m+M）v
由以上方程可解出：v=

mt2+M(t1+t2)

(M+m)t2

2gh

代入數(shù)據(jù)解得：v=6.9 m/s
運(yùn)動員與滑板a的共同速度為6.9m/s；
（3）設(shè)運(yùn)動員離開滑板b后，滑板b的速度為v₃，有
Mv₂+mv₃=（M+m）v₁
可算出v₃=-3 m/s，有：|v₃|=3 m/s＜v₁=6 m/s，b板將在兩個(gè)平臺之間來回運(yùn)動，機(jī)械能不變．
系統(tǒng)的機(jī)械能改變?yōu)椋?span id="d9trfn9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">△E=

1

2

(M+m)

v

2 G

+

1

2

m

v

2 3

-(m+m+M)gh
△E=88.75 J
改變的機(jī)械能為88.75J．

點(diǎn)評：本題要注意在人在滑板間跳動時(shí)會有能量損失，故不能直接利用機(jī)械能守恒求解，這是本題的一個(gè)難點(diǎn)，由于本題過程復(fù)雜，且隱含條件較多，故在解決本題時(shí)要求學(xué)生能認(rèn)真讀題，將題目中的隱含條件找出，從而建立正確的物理模型．