Question

（2010?安丘市模擬）如圖所示，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界．磁場中有一半徑為R、軸線與磁場平行的金屬圓筒，圓筒的圓心O到MN的距離OO₁=3R，O₁O所在直線與圓筒右側(cè)壁交于A點．圓筒通過導(dǎo)線和電阻r₀接地．現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以相同的速度從很遠(yuǎn)處垂直于MN向右射入磁場區(qū)．當(dāng)金屬圓筒最初不帶電時，圓筒上以A點和C點為界，在ADC弧上各點都能接收到電子，而AEC弧上各點均不能接收到電子；當(dāng)圓筒上電荷量達(dá)到相對穩(wěn)定后，通過電阻r₀的電流恒為I．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略運動電子間的相互作用和圓筒的電阻，取大地為零電勢點．求：
（1）電子射入磁場時的初速度v₀；
（2）電阻r₀的電流恒定時金屬圓筒的電勢φ；
（3）電阻r₀的電流恒定時電子到達(dá)圓筒時速度v和金屬圓筒的發(fā)熱功率P．

Answer 1

分析：（1）因為A點能接受到電子，故粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑應(yīng)為O₁A，即4R，依據(jù)半徑可以求的電子的初速度．
（2）電流恒定，說明圓筒上的電荷不再增加，即與地面間的電勢差為定值了．以此可以求的圓筒的電勢．
（3）很遠(yuǎn)可以認(rèn)為其電勢為零，則從很遠(yuǎn)處到圓筒的電勢差即為U，由動能定理即可求得到達(dá)圓筒的速度．
由電流可以求得單位時間內(nèi)到達(dá)圓筒的電子數(shù)，由此可以得到電子的總能量，也就等于單位時間內(nèi)的總功率，此功率分為兩部分：一是圓筒發(fā)熱功率，二是電阻發(fā)熱功率．據(jù)此可以求得圓筒發(fā)熱功率．

解答：解：（1）根據(jù)題意，電子在磁場中運動的軌道半徑必定是r=4R，如圖所示．由  qvB=m

v02

r

得：v0=

4eBR

m

（2）穩(wěn)定時，圓柱體上電荷不再增加，與地面電勢差恒為U
U=Ir₀
電勢 φ=-Ir₀
（3）電子從很遠(yuǎn)處射到圓柱表面時速度滿足-eU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
得：v=

v02- 2eIr0 m

電流為I，單位時間到達(dá)圓筒的電子數(shù)：n=

I

e

電子所具有總能量：E=n×

1

2

mv02=

mIv02

2e

消耗在電阻上的功率 P_r=I²r₀
所以圓筒發(fā)熱功率：P=

mIv02

2e

-I2r0
答：
（1）電子射入磁場時的初速度：v0=

4eBR

m

（2）電阻r₀的電流恒定時金屬圓筒的電勢：-Ir₀
（3）電阻r₀的電流恒定時電子到達(dá)圓筒時速度：v=

v02- 2eIr0 m

金屬圓筒的發(fā)熱功率：P=

mIv02

2e

-I2r0

點評：這是一個比較綜合的題，首先要會對磁場粒子的偏轉(zhuǎn)分析軌道半徑，這是這類題目必須有能力．難點或技巧在于第三問，我們在第三問里，最好以單位時間來求電子能量，進(jìn)而得出單位時間內(nèi)電子的功率．