Question

17．如圖所示，光滑導軌 EF、GH 等高平行放置，HF 間寬度可調節(jié)，導軌右側水 平且處于豎直向上的勻強磁場中，左側呈弧形升高．a(chǎn)b、cd 是質量均為 m 的金屬棒，現(xiàn) 讓 ab 從離水平軌道 h 高處由靜止下滑，設導 軌足夠長．試求：

（1）若 EG 間寬度和 HF 間寬度相同，ab、cd 棒的最終速度各為多大？
（2）①若 EG 間寬度為 HF 間寬度的 3 倍，ab、cd 棒的最終速度各為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律求解ab達到最低點的速度，再根據(jù)動量守恒定律求解最后的速度；
（2）分析最后各自的運動情況，根據(jù)安培力的關系結合動量定理列方程求解．

解答 解：（1）ab自由下滑，機械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由于ab、cd串聯(lián)在同一電路中，任何時刻通過的電流總相等，金屬棒有效長度L_ab=L_cd，故它們的磁場力為：F_ab=F_cd
在磁場力作用下，ab、cd各做變速運動，產(chǎn)生的感應電動勢方向相反，當E_ab=E_cd時，電路中感應電流為零（I=0），安培力為零，ab、cd運動趨于穩(wěn)定，
此時有：BL_abv_ab=BL_cdv_cd，所以v_ab=v_cd
ab、cd受的安培力大小相等、方向相反，由ab、cd組成的整體水平方向動量守恒，得：mv=2mv’
解得：v’=$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）①ab自由下滑，機械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由于ab、cd串聯(lián)在同一電路中，任何時刻通過的電流總相等，金屬棒有效長度L_ab=3L_cd，故它們的磁場力為：F_ab=3F_cd
在磁場力作用下，ab、cd各做變速運動，產(chǎn)生的感應電動勢方向相反，當E_ab=E_cd時，電路中感應電流為零（I=0），安培力為零，ab、cd運動趨于穩(wěn)定，
此時有：BL_abv_ab=BL_cdv_cd，所以v_ab=$\frac{1}{3}{v}_{cd}$
ab、cd受磁場力作用，動量均發(fā)生變化，由動量定理得：
F_ab△t=m（v-v_ab）
F_cd△t=mv_cd
聯(lián)立以上各式解得：V_ab=$\frac{\sqrt{2gh}}{10}$，
V_cd=$\frac{3\sqrt{2gh}}{10}$
②根據(jù)系統(tǒng)能量守恒可得：Q=△E_機=mgh-$\frac{1}{2}$m（V_ab²+V_cd²）=$\frac{9}{10}$mgh．
答：（1）若 EG 間寬度和 HF間寬度相同，ab、cd 棒的最終速度均為$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）①若 EG 間寬度為 HF間寬度的3 倍，ab棒的最終速度為$\frac{\sqrt{2gh}}{10}$，cd棒的最終速度為$\frac{3\sqrt{2gh}}{10}$．

點評 對于安培力作用下導體棒的運動問題，如果涉及電荷量、求位移問題，常根據(jù)動量定理或動量守恒定律結合法拉第電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律列方程進行解答．