Question

16．空間有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)率E=1000v/m，重力加速度g=10m/s²．，有一個(gè)半徑r=1m的輕質(zhì)圓形絕緣轉(zhuǎn)盤，豎直放置，圓心O為固定的光滑轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)盤可繞光滑O軸轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)在圓盤邊緣A處固定一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的帶電小球，其質(zhì)量m₁=0.3kg，電荷量q=+1×10^-3C；與OA垂直的另一半徑的中點(diǎn)B點(diǎn)，固定一個(gè)不帶電的可視為質(zhì)點(diǎn)的另一小球，其質(zhì)量m₂=0.6kg，圓盤系統(tǒng)從圖示位置（OA水平）開(kāi)始無(wú)初速釋放，（可取sin37°=0.6，sin45°=0.7，sin53°=0.8 ）求：
（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)盤的最大角速度為多少？
（2）半徑OA從開(kāi)始無(wú)初速釋放，可以順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度是多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)兩球整體，由動(dòng)能定理和角速度與線速度的關(guān)系列式，得到角速度與圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度的關(guān)系，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解最大角速度．
（2）由上題知，當(dāng)ω再次為0時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度最大．代入上題的結(jié)果求解．

解答 解：（1）兩球“m₁+m₂”從開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)θ角，系統(tǒng)角速度從0增到ω，由動(dòng)能定理得：
（m₁g+qE）rsinθ-m₂g$\frac{r}{2}$（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
其中：v₁=ωr，v₂=ω$\frac{r}{2}$?
由上得：4×1×sinθ-1×$\frac{6}{2}$×（1-cosθ）=$\frac{0.3}{2}$•ω²+$\frac{0.6}{2}×$$\frac{1}{4}$×ω²
可得：ω=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10（4sinθ+3cosθ-3）}$（rad/s）?
設(shè)tanφ=$\frac{4}{3}$，取y=4sinθ+3cosθ=5cos（θ-φ）
由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)θ=φ=arctan$\frac{4}{3}$=53°，?
轉(zhuǎn)盤的最大角速度為：ω_m=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$rad/s
（2）從（1）知，ω再次為0時(shí)，θ最大，即有：
4sinθ_m+3cosθ_m-3=0
cos（θ_m-φ）=cosφ，則得圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度為：
θ_m=2φ=2×53°=106°
答：（1）在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)盤的最大角速度為$\frac{4}{3}\sqrt{5}$rad/s．
（2）半徑OA從開(kāi)始無(wú)初速釋放，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度是106°．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用函數(shù)法列式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解角速度和角度的最大值．列式時(shí)，要注意采用整體法選擇研究對(duì)象．