Question

10．我國已啟動“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分別將“嫦娥一號”和“嫦娥二號”成功發(fā)射．“嫦娥三號”亦有望在2013年落月探測90天，并已給落月點起了一個富有詩意的名字---“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，請求出月球繞地球運動的軌道半徑r．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v_o豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供向心力，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，由萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出月球的軌道半徑．
（2）小球做豎直上拋運動，根據(jù)豎直上拋運動求出月球表面的重力加速度，然后求出月球的質(zhì)量．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（{\frac{2π}{T}）}^{2}$r，
地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，
解得，月球的軌道半徑：r=$\root{3}{\frac{g{T}^{2}{R}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）設(shè)月球表面處的重力加速度為g_月，小球做豎直上拋運動：t=$\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$，
解得：g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$，
萬有引力等于重力：m″g_月=G$\frac{{M}_{月}m″}{{r}_{月}^{2}}$，
解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$；
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{g{T}^{2}{R}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律即可解題，解題時注意“黃金代換”的應(yīng)用．