Question

20．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，地球表面的重力加速度為g．一礦井深度為d，則礦井底部的重力加速度為（　　）

• A． 0
• B． 1-$\frac1x12etz{R}$
• C． g-$\frac{dg}{R}$
• D． （$\frac{R-d}{R}$）²g

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系求解即可．

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有：g=$G\frac{M}{{R}^{2}}$，由于地球的質(zhì)量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表達(dá)式可寫(xiě)成：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$G\frac{ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}GρπR$．
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故井底的重力加速度為：g′=$\frac{4}{3}Gρπ（R-d）$
所以有：$\frac{g′}{g}=\frac{\frac{4}{3}Gρπ（R-d）}{\frac{4}{3}GρπR}$=$\frac{R-d}{R}=1-\fracthxgzkf{R}$
所以選項(xiàng)B正確，ACD錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 抓住在地球表面重力和萬(wàn)有引力相等，在礦井底部，地球的重力和萬(wàn)有引力相等，要注意在礦井底部所謂的地球的質(zhì)量不是整個(gè)地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．