Question

3．圖1中，質(zhì)量為m₁=1kg的物塊疊放在質(zhì)量為m₂=3kg的木板右端．木板足夠長，放在光滑的水平地面上，木板與物塊之間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.2．整個系統(tǒng)開始時靜止，重力加速度g=10m/s²．

（1）在木板右端施加水平向右的拉力F，為使木板和物塊發(fā)生相對運(yùn)動，拉力F至少應(yīng)為多大？
（2）在0～4s內(nèi)，若拉力F的變化如圖2所示，2s后木板進(jìn)入μ₂=0.25的粗糙水平面，在圖3中畫出0～4s內(nèi)木板和物塊的v-t圖象．
（3）求0～4s內(nèi)物塊在木板上留下的痕跡的長度．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)木板和物塊剛要發(fā)生相對運(yùn)動時，兩者間的靜摩擦力達(dá)到最大值，分別整體和物塊運(yùn)用牛頓第二定律可求得F的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律研究物塊和木板的加速度，由運(yùn)動學(xué)公式分段求出木板和物塊的速度，即可畫出v-t圖象．
（3）物塊在木板上留下的痕跡的長度等于物塊與木板的相對位移大小，由位移公式求解．

解答 解：（1）把物塊和木板看作整體，由牛頓第二定律得：F=（m₁+m₂）a
對物塊，物塊與木板將要相對滑動時有 μ₁m₁g=m₁a
聯(lián)立解得 F=μ₁（m₁+m₂）g=8N
（2）物塊在0～2s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律有：μ₁m₁g=m₁a₁
解得 a₁=2m/s²；
2s末物塊的速度為 v₁=a₁t₁=2×2=4（m/s）
木板在0～1s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律有：F₁-μ₁m₁g=m₂a₂
解得 a₂=4m/s²；
1s末木板的速度 v₁′=a₂t₂=4×1=4（m/s）
在1～2s內(nèi) F₂=μ₁m₁g，木板做勻速運(yùn)動，速度為4m/s
如果物塊和木板一起減速運(yùn)動，共同的加速度為 ${a_共}=\frac{{（{m_1}+{m_2}）g{μ_2}}}{{（{m_1}+{m_2}）}}=g{μ_2}$
m₁的合力m₁gμ₂＞f_m=m₁gμ₁
所以物塊和木板相對滑動
2s后物塊做勻減速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律有：-μ₁m₁g=m₁a₃
得：a₃=-2m/s²；
速度從4m/s減至零的時間 t₃=$\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{3}}$=$\frac{0-4}{-2}$=2（s）
木板做勻減速直線運(yùn)動有：-μ₂（m₁+m₂）g+μ₁m₁g=m₂a₄
得：a₄=-$\frac{8}{3}$m/s²；
速度從4m/s減至零的時間 t₄=$\frac{0-{v}_{1}′}{{a}_{4}}$=$\frac{-4}{-\frac{8}{3}}$=1.5（s）
二者在整個運(yùn)動過程的v-t圖象如圖所示（實(shí)線是木板的v-t圖象，虛線是物塊的v-t圖象）

（3）0～2s內(nèi)物塊相對木板向左運(yùn)動  $△{x_1}=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2+（{a_1}{t_1}）t{\;}_2-\frac{1}{2}{a_2}{（{t_1}+{t_2}）^2}$
2-4s內(nèi)物塊相對木板向右運(yùn)動 $△{x_2}=\frac{{-{{（{a_1}{t_1}）}^2}}}{{2{a_4}}}-\frac{{-{{（{a_1}{t_1}）}^2}}}{{2{a_3}}}$
△x₁＞△x₂
所以0～4s內(nèi)物塊在木板痕跡的長度為△x=△x₁=2m
答：（1）為使木板和物塊發(fā)生相對運(yùn)動，拉力F至少應(yīng)為8N．
（2）如圖所示．
（3）0～4s內(nèi)物塊在木板上留下的痕跡的長度為2m．

點(diǎn)評 根據(jù)物體受力情況判斷物體的運(yùn)動情況，并根據(jù)牛頓第二定律及勻變速直線運(yùn)動的基本公式解題的典型例題，要注意題中F是個變力，在1s后發(fā)生了改變，所以加速度也要發(fā)生變化．求位移差時也可根據(jù)速度時間圖象與時間軸所圍成的面積表示位移去求解．