Question

13．如圖所示，在光滑的水平地面上有一質量為M的小車，小車的AB段是光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，BC段是粗糙的水平面，C點右側是光滑平面，固定于右側擋板的輕彈簧自由伸長時，恰好在C點，一可視為質點的滑塊，從圓弧高處A由靜止下滑，與彈簧相接觸并壓縮彈簧，滑塊最高能滑到距B點的$\frac{R}{2}$高度的圓弧上，已知滑塊的質量為m，BC段的長度為l，重力加速度為g，求：
（1）BC段的動摩擦因數μ的大��；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能的大��；
（3）當滑塊與彈簧剛分離時滑塊和小車的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據系統(tǒng)動量守恒知，最終滑塊和小車是保持相對靜止，速度為零，根據能量守恒求出BC段的動摩擦因數的大�。�
（2）當彈簧壓縮最大時，滑塊和小車的速度為零，根據能量守恒求出彈簧的彈性勢能．
（3）根據能量守恒和動量守恒定律求出當滑塊和彈簧剛分離時滑塊和小車的速度大�。�

解答 解：（1）滑塊與小車初狀態(tài)是靜止的，末狀態(tài)也相對于小車靜止，兩者共同速度也為零，
根據能量守恒定律得，$mg（R-\frac{R}{2}）=μmg•2l$，
解得$μ=\frac{R}{4l}$．
（2）彈簧壓縮到最大形變量時，滑塊和小車的速度為零，根據能量守恒定律得，
彈簧的彈性勢能${E}_{p}=mgR-μmgl=\frac{3}{4}mgR$．
（3）彈簧與滑塊分離時，設滑塊的速度為v₁，小車的速度為v₂，根據能量守恒定律得，${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
又因為系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定向右為正方向，有：mv₁-Mv₂=0，
聯(lián)立解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$，${v}_{2}=\frac{m}{M}\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$．
答：（1）BC段的動摩擦因數μ的大小為$\frac{R}{4l}$；
（2）彈簧具有的最大彈性勢能的大小為$\frac{3}{4}mgR$；
（3）當滑塊與彈簧剛分離時滑塊和小車的速度大小分別為$\sqrt{\frac{3MRg}{2（M+m）}}$、$\frac{m}{M}\sqrt{\frac{3MRg}{2（m+M）}}$．

點評 本題考查了動量守恒定律、能量守恒的綜合運用，知道系統(tǒng)初狀態(tài)的總動量為零，則兩者保持相對靜止時，速度為零，結合動量守恒和能量進行求解．