Question

14．如圖所示，在x＜0的區(qū)域存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=$\frac{q{B}^{2}d}{m}$，在x＞0的區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度等大反向的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅰ的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外．現(xiàn)將一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在x軸上某處由靜止釋放，不計(jì)粒子重力．求：
（1）在x軸負(fù)半軸上由靜止釋放的粒子的釋放位置坐標(biāo)滿足什么條件時(shí)，粒子不能到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ；
（2）在（1）中恰好不能到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ的粒子，從釋放到第二次經(jīng)過y軸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）在坐標(biāo)（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子從釋放至第n次回到出發(fā)點(diǎn)所需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中向右做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子恰不能到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ的臨界軌跡是與兩個(gè)磁場(chǎng)分界線相切；
（2）畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)平均速度公式求解電加速時(shí)間，而磁偏轉(zhuǎn)過程是半個(gè)周期；
（3）在坐標(biāo)（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子先電加速，進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ、Ⅱ后回到O點(diǎn)，在向左勻減速回到出發(fā)點(diǎn)，此后不斷循環(huán)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律列式，求解各段的時(shí)間即可．

解答 解：（1）在x軸上恰好不能到達(dá)區(qū)域Ⅱ的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由圖可知粒子運(yùn)動(dòng)半徑為d，由洛倫茲力提供向心力得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}folrecu$，
設(shè)此粒子在x軸上從（-x₀，0）點(diǎn)處釋放，由動(dòng)能定理得：
qEx₀=$\frac{1}{2}$mv²
兩式聯(lián)立解得：v=$\frac{qBd}{m}$，x₀=$\fracn7f4qus{2}$；
因此在x軸負(fù)半軸上滿足橫坐標(biāo)x≥-$\fraccwtfv7f{2}$處釋放的粒子不能到達(dá)區(qū)域Ⅱ；
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，有：x₀=$\frac{v}{2}$t₁，
解得：t₁=$\frac{2{x}_{0}}{v}$=$\frac{m}{qB}$，
粒子在區(qū)域Ⅰ中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$，
因此從釋放到第二次經(jīng)過y軸粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{m}{qB}（1+π）$；
（3）在坐標(biāo)（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，
設(shè)粒子第一次到達(dá)y軸時(shí)速度為v'，則有：qE•$\frac{2}{3}d$=$\frac{1}{2}$mv'²，
解得：v′=$\frac{2\sqrt{3}qBd}{3m}$；
粒子從釋放至第一次到達(dá)y軸需要的時(shí)為：間t'₁=$\frac{\frac{2}{3}d}{\frac{v′}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}m}{3qB}$；
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則有：qv'B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{2}{3}\sqrt{3}d$，
由幾何關(guān)系得：sinθ=$\fracqh2fb92{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：θ=60°；
因此粒子在區(qū)域Ⅱ中偏轉(zhuǎn)的圓心角為2π-（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）×2=$\frac{5}{3}$π，
粒子第一次回到出發(fā)點(diǎn)所需要的時(shí)間為：
t_總=$\frac{\frac{5}{3}π+\frac{2}{3}π}{2π}$T+2t'₁
T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)得t_總=$\frac{7πm}{3qB}+\frac{{4\sqrt{3}qm}}{3qB}$，
因此第n次回到出發(fā)點(diǎn)所需要的時(shí)間為：t_n=nt_總=n（$\frac{7πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{3}qm}{3qB}$）（n=1，2，3，…）；
答：（1）在x軸負(fù)半軸上滿足橫坐標(biāo)x≥-$\frac77vbyn9{2}$處釋放的粒子不能到達(dá)區(qū)域Ⅱ；
（2）在（1）中恰好不能到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ的粒子，從釋放到第二次經(jīng)過y軸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{m}{qB}（1+π）$；
（3）在坐標(biāo)（-$\frac{2}{3}$d，0）處釋放的粒子從釋放至第n次回到出發(fā)點(diǎn)所需要的時(shí)間為（$\frac{7πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{3}qm}{3qB}$）（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，關(guān)鍵是畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，分電加速和磁偏轉(zhuǎn)過程進(jìn)行研究，找到循環(huán)過程．