Question

20．在如圖所示的豎直平面內(nèi)，有一固定在水平地面的光滑絕緣平臺(tái)．平臺(tái)右端B與水平絕緣傳送帶平滑相接，傳送帶長(zhǎng)L=1m，有一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg，帶電量為q=+10^-3C的滑塊，放在水平平臺(tái)上．平臺(tái)上有一根輕質(zhì)絕緣彈簧左端固定，右端與滑塊接觸但不連接．現(xiàn)將滑塊緩慢向左移動(dòng)壓縮彈簧，且彈簧始終在彈性限度內(nèi)．在彈簧處于壓縮狀態(tài)時(shí)，若將滑塊由靜止釋放，當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，滑塊恰能到達(dá)傳送帶右端C點(diǎn)．已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2（g取10m/s²）．
（1）求滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度v_B及彈簧儲(chǔ)存的最大彈性勢(shì)能E_p；
（2）若兩輪半徑均為r=0.4m，現(xiàn)傳送帶以角速度ω₀順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．讓滑塊從B點(diǎn)以速度v_B′＞rω₀滑上傳送帶，且在C點(diǎn)時(shí)恰好沿水平方向飛出傳送帶，求ω₀的最大值；
（3）若傳送帶以1.5m/s的速度沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，仍將彈簧壓縮到（1）問(wèn)中的情形時(shí)釋放滑塊，同時(shí)，在BC之間加水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=5×10²N/C．滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，求摩擦力對(duì)它做的功及此過(guò)程中由于摩擦而產(chǎn)生的熱量．（本問(wèn)中結(jié)果保留三位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）對(duì)B到C的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合能量守恒求出彈簧儲(chǔ)存的最大彈性勢(shì)能．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出C點(diǎn)的臨界速度，從而結(jié)合線速度與角速度的關(guān)系求出角速度的最大值．
（3）由于B點(diǎn)的速度大于傳送帶速度，滑塊滑上傳送帶做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大小，結(jié)合速度時(shí)間公式求出速度減速到傳送帶速度所需的時(shí)間，求出滑塊減速的位移，以及傳送帶的位移，通過(guò)相對(duì)位移的大小求出摩擦生熱，根據(jù)動(dòng)能定理求出摩擦力做功的大小．

解答 解：（1）從B到C，根據(jù)動(dòng)能定理得：-μmgL=0-$\frac{1}{2}$mv_B²
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=2 m/s．
滑塊從靜止釋放至運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由能量守恒定律知：
  E_p=$\frac{1}{2}$mv_B²
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=1J．
（2）滑塊恰能在C點(diǎn)水平飛出傳送帶，則有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
解得：v_C=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.4}$m/s=2 m/s
傳送帶ω₀最大，傳送帶最大速度等于v_C，則有：ω₀=$\frac{{v}_{C}}{r}$=5 rad/s
（3）加電場(chǎng)后，由于vB＞v傳，所以滑塊剛滑上傳送帶時(shí)就做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：μmg-qE=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=1m/s²．
滑塊減速至與傳送帶共速的時(shí)間為：
  t=$\frac{{v}_{B}-v}{{a}_{2}}$=$\frac{2-1.5}{1}$=0.5s
滑塊減速的位移為：x=$\frac{{v}_{B}+v}{2}t$=$\frac{2+1.5}{2}$×0.5m=0.875m＜L
傳送帶位移為：x′=vt=1.5×0.5m=0.75m，
故滑塊之后勻速運(yùn)動(dòng)，從B到C，由動(dòng)能定理：
   qEL+W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：Wf≈-0.938J
摩擦生熱：Q=μmg（x-x′），
代入數(shù)據(jù)解得：Q=0.125J．
答：（1）滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為2m/s，彈簧儲(chǔ)存的最大彈性勢(shì)能為1J；
（2）ω₀的最大值為5rad/s；
（3）摩擦力對(duì)它做的功為-0.938J，由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為0.125J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清滑塊在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化的，結(jié)合牛頓第二定律、動(dòng)能定理分過(guò)程進(jìn)行研究．