Question

（2013?南開區(qū)二模）如圖所示：輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)；另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量m=2×10^-2kg，電荷量q=0.2C．將彈簧保持原長(zhǎng)拉至水平后，以初速度v₀=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小v=15m/s．若O、O₁相距R=1.5m，小球P在點(diǎn)O₁與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1kg的靜止絕緣小球N相碰．碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=lT的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5m的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²．則．
（1）判斷小球P所帶電性，并說(shuō)明理由．
（2）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈性勢(shì)能變化了多少？
（3）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度．

Answer 1

分析：（1）P在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受力平衡，即可判斷所帶電性；
（2）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈力做功即為彈性勢(shì)能變化量；
（3）因?yàn)榇艌?chǎng)方向沒(méi)有說(shuō)明，所以同樣要分情況討論，分別求不同情況下t_N與t_P的大小是否相等．

解答：解：（1）由題意知：N碰后做平拋，小球P在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷；
（2）設(shè)彈簧彈力做功為W，有mgh+W=

1

2

mv2-

1

2

mv02
帶入數(shù)據(jù)得：W=-2.05J，△E_p=-W=2.05J；
（3）設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向
由：qv₁B=m

v12

r

  
得：v₁=

Bqr

m

=5m/s；
若P、N碰后速度同向時(shí)：mv=mv₁+MV
計(jì)算可得V=1.25m/s＜v₁，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)；
設(shè)P、N瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)，有：mv=-mv₁+MV
得：V=2.5m/s；
設(shè)P、N速度相等時(shí)，N經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t_N，P經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t_P，此時(shí)N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，有：
cosθ=

V

V1

=

V

v1

解得：θ=60°
gt_N=V₁sinθ=v₁sinθ
代入數(shù)據(jù)得：t_N=

3

4

s；
對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：T=

2πr

v1

=

2πm

qB

=

π

5

s
即t_N＜T
P經(jīng)過(guò)t_P時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為α，有：t_P=

α

2π

T
當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直于紙面向外時(shí)，若P、N的速度相同，如圖可知，有：α₁=π+θ
聯(lián)立相關(guān)方程得：t_P1=

2π

15

s
比較得：t_N≠t_P1，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同；
當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直于紙面向里時(shí)，若P、N的速度相同，如圖可知，有：α₂=π-θ
同上得：t_P2=

π

15

s
比較得：t_N≠t_P2，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同；
答：（1）小球P帶正電；
（2）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈性勢(shì)能變化了2.05J；
（3）小球P、N碰撞后不能在某一時(shí)刻具有相同的速度．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，涉及到平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，速度相同包括大小相等和方向相同，并且要討論磁場(chǎng)的方向，難度特別大，屬于難題．