Question

3．蹦床比賽分成預(yù)備運(yùn)動(dòng)和比賽動(dòng)作．最初，運(yùn)動(dòng)員靜止站在蹦床上在預(yù)備運(yùn)動(dòng)階段，他經(jīng)過若干次蹦跳，逐漸增加上升高度，最終達(dá)到完成比賽動(dòng)作所需的高度；此后，進(jìn)入比賽動(dòng)作階段．把蹦床簡化為一個(gè)豎直放置的輕彈簧，彈力大小F=kx （x為床面下沉的距離，k為常量）．質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動(dòng)員靜止站在蹦床上，床面下沉x₀=0.10m；在預(yù)備運(yùn)動(dòng)中，假設(shè)運(yùn)動(dòng)員所做的總功W全部用于其機(jī)械能；在比賽動(dòng)作中，把該運(yùn)動(dòng)員視作質(zhì)點(diǎn)，其每次離開床面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的騰空時(shí)間均為△t=2.0s，設(shè)運(yùn)動(dòng)員每次落下使床面壓縮的最大深度均為x_l．取重力加速度g=10m/s²，忽略空氣阻力的影響．
（1）求常量k，并在圖中畫出彈力F隨x變化的示意圖；
（2）求在比賽動(dòng)作中，運(yùn)動(dòng)員離開床面后上升的最大高度h_m；
（3）借助F-x圖象可以確定彈力做功的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，求x₁和W的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律求出勁度系數(shù)，抓住彈力與形變量成正比，作出彈力F隨x變化的示意圖；
（2）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的對稱性，求出人在空中下落的時(shí)間，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)員離開床面后上升的最大高度；
（3）根據(jù)圖線圍成的面積表示彈力做功，得出彈力做功的表達(dá)式，根據(jù)動(dòng)能定理求出彈力做功，從而求出x₁的值．

解答 解：（1）床面下沉x₀=0.1m時(shí)，運(yùn)動(dòng)員受力平衡，有：mg=kx₀，
代入數(shù)據(jù)解得：k=5×10³N/m．
F-x圖線如圖所示．
（2）運(yùn)動(dòng)員從x=0處離開床面，開始騰空，
由運(yùn)動(dòng)的對稱性知其上升、下落的時(shí)間相等，有：h_m=$\frac{1}{2}$g$（\frac{△t}{2}）^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：h_m=5.0m．
（3）參照由速度時(shí)間圖線求位移的方法可知F-x圖線下的面積等于彈力做的功，從x處到x=0處，彈力做的功為：W_T=$\frac{1}{2}$kx²，
運(yùn)動(dòng)員從x₁處上升到最大高度h_m的過程，根據(jù)動(dòng)能定理可得：$\frac{1}{2}$kx₁²-mg（x₁+h_m）=0，
代入數(shù)據(jù)解得：x₁=1.1m
對整個(gè)預(yù)備運(yùn)動(dòng)過程分析，由題設(shè)條件以及功和能的關(guān)系，有：W+$\frac{1}{2}$kx₀²=mg（x₀+h_m）
代入數(shù)據(jù)解得：W=2525J．
答：（1）常量k為5×10³N/m，彈力F隨x變化的示意圖如圖所示；
（2）運(yùn)動(dòng)員離開床面后上升的最大高度為5.0m；
（3）x₁的值為1.1m；W的值為2525J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理等知識進(jìn)行求解．